Задание 14 ЕГЭ по математике профильной

a) $2 \cos(\pi + 2x) - 2 - \sqrt{8} \cos x = \sqrt{6} + \sqrt{12} \cos x$

Преобразуем по формуле приведения:$\cos(\pi + 2x) = -\cos 2x$.

Вынесем множитель из-под знака корня: $\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$, $\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$.

Получим:
$-2\cos 2x - 2 - 2\sqrt{2} \cos x = \sqrt{6} + 2\sqrt{3} \cos x$

$-2\cos 2x - 2 - 2\sqrt{2} \cos x - 2\sqrt{3} \cos x - \sqrt{6} = 0$

$2\cos 2x + 2 + \sqrt{6} + 2\sqrt{2}\cos x + 2\sqrt{3}\cos x = 0$

Заменим по формуле косинуса двойного угла: $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$.

$2(2\cos^2 x - 1) + 2 + \sqrt{6} + 2\sqrt{2}\cos x + 2\sqrt{3}\cos x = 0$

$4\cos^2 x - 2 + 2 + \sqrt{6} + 2\sqrt{2}\cos x + 2\sqrt{3}\cos x = 0$

$4\cos^2 x + \sqrt{6} + 2\sqrt{2}\cos x + 2\sqrt{3}\cos x = 0$

$(4\cos^2 x + 2\sqrt{2}\cos x) + (2\sqrt{3}\cos x + \sqrt{6}) = 0$

$2\cos x(2\cos x + \sqrt{2}) + \sqrt{3}(2\cos x + \sqrt{2}) = 0$

$(2\cos x + \sqrt{2})(2\cos x + \sqrt{3}) = 0$

$\cos x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \quad \Rightarrow \quad x = \pm\dfrac{3\pi}{4} + 2\pi n,\ n \in \mathbb{Z}$

$\cos x = -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \quad \Rightarrow \quad x = \pm\dfrac{5\pi}{6} + 2\pi n,\ n \in \mathbb{Z}$

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[ \dfrac{\pi}{2}; 2\pi \right]$с помощью единичной окружности.

Получим числа: $\dfrac{3\pi}{4}, \ \dfrac{5\pi}{6}, \ \dfrac{7\pi}{6}, \ \dfrac{5\pi}{4}$.

Ответ:

а) $\pm\dfrac{3\pi}{4} + 2\pi n,\ n \in \mathbb{Z}$; $\pm\dfrac{5\pi}{6} + 2\pi n,\ n \in \mathbb{Z}$.

б)$\dfrac{3\pi}{4}, \ \dfrac{5\pi}{6}, \ \dfrac{7\pi}{6}, \ \dfrac{5\pi}{4}$