Задание 14 ЕГЭ по математике профильной

а)$\sqrt{3} \sin 2x + 3 \cos 2x = 0$
$\sqrt{3} \cdot 2\sin x \cos x + 3(\cos^2 x - \sin^2 x) = 0$
$2\sqrt{3}\sin x \cos x + 3\cos^2 x - 3\sin^2 x = 0$
$3\cos^2 x + 2\sqrt{3}\sin x \cos x - 3\sin^2 x = 0$

Разделим на $\cos^2 x\ (\cos x \neq 0):$
$3 + 2\sqrt{3}\tg x - 3\tg^2 x = 0$
$-3\tg^2 x + 2\sqrt{3}\tg x + 3 = 0$
$3\tg^2 x - 2\sqrt{3}\tg x - 3 = 0$

Замена: $t = \tg x$
$3t^2 - 2\sqrt{3}t - 3 = 0$
$D = (2\sqrt{3})^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 12 + 36 = 48$
$\sqrt{D} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$
$t = \frac{2\sqrt{3} \pm 4\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{2\sqrt{3} \pm 4\sqrt{3}}{6}$
$t_1 = \frac{6\sqrt{3}}{6} = \sqrt{3},\quad t_2 = \frac{-2\sqrt{3}}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$
$\tg x = \sqrt{3} \quad \text{или} \quad \tg x = -\frac{\sqrt{3}}{3}$
$x = \frac{\pi}{3} + \pi n,\quad n \in \mathbb{Z}$
$x = -\frac{\pi}{6} + \pi k,\quad k \in \mathbb{Z}$

Объединим в одну серию корней: $\dfrac{\pi}{3} + \dfrac{\pi k}{2}, \ k \in \mathbb{Z}$
б) Отберём корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ \pi;\dfrac{5\pi}{2} \right]$ с помощью единичной окружности.

Ответ:

a) $\dfrac{\pi}{3} + \dfrac{\pi k}{2}, \ k \in \mathbb{Z}$;
б) $\dfrac{4\pi}{3}; \ \dfrac{11\pi}{6}; \ \dfrac{7\pi}{3}$.