Задание 14 ЕГЭ по математике профильной

а) $\sin x \cdot \cos 2x - \sqrt{2} \cos^2 x + \sin x = 0$
$\sin x \cdot \cos 2x + \sin x - \sqrt{2} \cos^2 x = 0$
$\sin x (\cos 2x + 1) - \sqrt{2} \cos^2 x = 0$
$\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$
$\cos 2x + 1 = 2\cos^2 x$
$\sin x \cdot 2\cos^2 x - \sqrt{2} \cos^2 x = 0$
$\cos^2 x (2\sin x - \sqrt{2}) = 0$
$\cos^2 x = 0 \quad \text{или} \quad 2\sin x - \sqrt{2} = 0$
$\cos x = 0 \quad \text{или} \quad \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + \pi n,\ n \in \mathbb{Z}$
$\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k \quad \text{или} \quad x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}$

б) Отберём корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ \dfrac{3\pi}{2}; 3\pi \right]$ с помощью единичной окружности.

Получим числа $\dfrac{3\pi}{2};\ \dfrac{9\pi}{4};\ \dfrac{5\pi}{2};\ \dfrac{11\pi}{4}$.

Ответ:

a) $\dfrac{\pi}{2} + \pi k;\ \dfrac{\pi}{4} + 2\pi k;\ \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}$;
б) $\dfrac{3\pi}{2};\ \dfrac{9\pi}{4};\ \dfrac{5\pi}{2};\ \dfrac{11\pi}{4}$.