Задание 14 ЕГЭ по математике профильной

а) $16^{\sin x} + 16^{\sin(x+\pi)} = \frac{17}{4}$
$\sin(x+\pi) = -\sin x$
$16^{\sin x} + 16^{-\sin x} = \frac{17}{4}$

Замена $t = 16^{\sin x} > 0$.
$t + \dfrac{1}{t} = \dfrac{17}{4}$
$t^2 + 1 = \dfrac{17}{4}t$
$4t^2 + 4 = 17t$
$4t^2 - 17t + 4 = 0$
$D = (-17)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 4 = 289 - 64 = 225$
$\sqrt{D} = 15$
$t = \frac{17 \pm 15}{2 \cdot 4} = \frac{17 \pm 15}{8}$
$t_1 = \frac{32}{8} = 4,\quad t_2 = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$
$16^{\sin x} = 4 \quad \text{или} \quad 16^{\sin x} = \frac{1}{4}$
$4^{2\sin x} = 4^1 \quad \text{или} \quad 4^{2\sin x} = 4^{-1}$
$2\sin x = 1 \quad \text{или} \quad 2\sin x = -1$
$\sin x = \frac12 \quad \text{или} \quad \sin x = -\frac12$
$\sin x = \frac12 \Rightarrow x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \quad \text{или} \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n,\ n \in \mathbb{Z}$
$\sin x = -\frac12 \Rightarrow x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k \quad \text{или} \quad x =- \frac{5\pi}{6} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}$

Иначе: $\pm\dfrac{\pi}{6} + \pi \, n \in \mathbb{Z}$
б) Отберём корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\dfrac{3\pi}{2}; 3\pi\right]$ с помощью единичной окружности.

Получим числа $\dfrac{11\pi}{6},\quad \dfrac{13\pi}{6},\quad \dfrac{17\pi}{6}$.

Ответ:
a) $\pm\dfrac{\pi}{6} + \pi \, n \in \mathbb{Z}$
б) $\dfrac{11\pi}{6},\quad \dfrac{13\pi}{6},\quad \dfrac{17\pi}{6}$