Задание 14 ЕГЭ по математике профильной

$\dfrac{\log_2^2(\sin x) + \log_2(\sin x)}{2 \cos x + \sqrt{3}} = 0$

ОДЗ: $\sin x > 0 \text{ и } 2\cos x + \sqrt{3} \neq 0$
$\sin x > 0 \Rightarrow x \in (2\pi n;\ \pi + 2\pi n),\ n \in \mathbb{Z}$
$\cos x \neq -\frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow x \neq \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$
Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю:
$\log_2^2(\sin x) + \log_2(\sin x) = 0$
$\log_2(\sin x) \cdot \bigl( \log_2(\sin x) + 1 \bigr) = 0$
$\log_2(\sin x) = 0 \quad \text{или} \quad \log_2(\sin x) = -1$
$\sin x = 1 \quad \text{или} \quad \sin x = \frac{1}{2}$
$\sin x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}$
$\sin x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \frac{\pi}{6} + 2\pi m \quad \text{или} \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi m,\ m \in \mathbb{Z}$
Проверка ОДЗ по $\sin x > 0:$
$\frac{\pi}{2} + 2\pi k$ — да, $\sin = 1 > 0$
$\frac{\pi}{6} + 2\pi m$ — да, $\sin = 1/2 > 0$
$\frac{5\pi}{6} + 2\pi m$ — да, $\sin = 1/2 > 0$

Проверка ОДЗ по $\cos x \neq -\frac{\sqrt{3}}{2}:$
$x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi m \Rightarrow \cos\frac{5\pi}{6}= -\frac{\sqrt{3}}{2}$ — посторонний корень
$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \Rightarrow \cos = 0 \neq -\frac{\sqrt{3}}{2}$ — подходит
$x = \frac{\pi}{6} + 2\pi m \Rightarrow \cos = \frac{\sqrt{3}}{2} \neq -\frac{\sqrt{3}}{2}$ — подходит
Таким образом:
$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k,\quad x = \frac{\pi}{6} + 2\pi m,\quad k,m \in \mathbb{Z}$

б) Отберём корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ 0; \dfrac{3\pi}{2} \right]$ с помощью единичной окружности.

Получим точки $\dfrac{\pi}{6},\ \dfrac{\pi}{2}$.

Ответ:

a) $\dfrac{\pi}{2} + 2\pi k,\ \dfrac{\pi}{6} + 2\pi m,\ k,m \in \mathbb{Z}$
б) $\dfrac{\pi}{6},\ \dfrac{\pi}{2}$.