Задание 14 ЕГЭ по математике профильной

а) $\sqrt{2 \cos^3 x - \sin^2 x - 2 \cos x - \sin x} = \sqrt{\cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right)}$

По формуле приведения: $\cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = -\sin x$

$\text{ОДЗ: } \begin{cases} -\sin x \geq 0 \\ 2 \cos^3 x - \sin^2 x - 2 \cos x - \sin x \geq 0 \end{cases}$
$\sqrt{2 \cos^3 x - \sin^2 x - 2 \cos x - \sin x} = \sqrt{-\sin x}$
$\text{Возводим обе части в квадрат:}$
$2 \cos^3 x - \sin^2 x - 2 \cos x - \sin x = -\sin x$
$2 \cos^3 x - \sin^2 x - 2 \cos x - \sin x + \sin x = 0$
$2 \cos^3 x - \sin^2 x - 2 \cos x = 0$
$\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$
$2 \cos^3 x - (1 - \cos^2 x) - 2 \cos x = 0$
$2 \cos^3 x - 1 + \cos^2 x - 2 \cos x = 0$
$2 \cos^3 x + \cos^2 x - 2 \cos x - 1 = 0$
$\cos^2 x (2\cos x + 1) - 1(2\cos x + 1) = 0$
$(2\cos x + 1)(\cos^2 x - 1) = 0$
$(2\cos x + 1)(\cos x - 1)(\cos x + 1) = 0$
$2\cos x + 1 = 0 \quad \text{или} \quad \cos x = 1 \quad \text{или} \quad \cos x = -1$
$\cos x = -\frac12 \quad \text{или} \quad \cos x = 1 \quad \text{или} \quad \cos x = -1$
$\cos x = 1 \Rightarrow x = 2\pi n,\ n \in \mathbb{Z}$
$\cos x = -1 \Rightarrow x = \pi + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}$
$\cos x = -\frac12 \Rightarrow x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi m \quad \text{или} \quad x =- \frac{2\pi}{3} + 2\pi m,\ m \in \mathbb{Z}$
С учётом ОДЗ:

$\pi k, \, k \in \mathbb{Z}; \, -\dfrac{2\pi}{3} + 2\pi n, \, n \in \mathbb{Z};$

б) Отберём корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-4\pi; -\frac{5\pi}{2}\right]$ с помощью единичной окружности.

Получим числа $-4\pi, \, -3\pi, \, -\dfrac{8\pi}{3}$.

Ответ:

a) $\pi k, \, k \in \mathbb{Z}; \, -\dfrac{2\pi}{3} + 2\pi n, \, n \in \mathbb{Z};$
б) $-4\pi, \, -3\pi, \, -\dfrac{8\pi}{3}$