Задание 14 ЕГЭ по математике профильной

а) $8^{1-4x} - 21 \cdot 4^{1,5-3x} + 640 = 0$
$8 = 2^3,\quad 4 = 2^2$
$(2^3)^{1-4x} - 21 \cdot (2^2)^{1,5-3x} + 640 = 0$
$2^{3(1-4x)} - 21 \cdot 2^{2(1,5-3x)} + 640 = 0$
$2^{3-12x} - 21 \cdot 2^{3-6x} + 640 = 0$
$2^{3-12x} - 21 \cdot 2^{3-6x} + 640 = 0$
Преобразуем: $2^{3-12x} = 2^3 \cdot 2^{-12x} = 8 \cdot (2^{-6x})^2$; $2^{3-6x} = 2^3 \cdot 2^{-6x} = 8 \cdot 2^{-6x}$

Пусть $t = 2^{-6x} > 0$.
$8t^2 - 21 \cdot 8t + 640 = 0$
$8t^2 - 168t + 640 = 0\,\,\,|:8$
$t^2 - 21t + 80 = 0$
$D = (-21)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 80 = 441 - 320 = 121$
$t = \frac{21 \pm 11}{2}$
$t_1 = \frac{32}{2} = 16,\quad t_2 = \frac{10}{2} = 5$
$2^{-6x} = 16 \quad \text{или} \quad 2^{-6x} = 5$
$2^{-6x} = 2^4 \Rightarrow -6x = 4 \Rightarrow x = -\frac{2}{3}$
$2^{-6x} = 5 \Rightarrow x = -\dfrac16\log_25$

б) Отберём корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[-1; -0{,}5]$.

Ответ:
a) $-\dfrac{2}{3}$; $-\dfrac{1}{6} \log_2 5$;
б) $-\dfrac{2}{3}$