Задание 16 ЕГЭ по математике профильной

Ограничения: 
$4^{x^2+2x+2}-3>0\\ 4^{x^2+2x+2}>3\\ 4^{x^2+2x+2}>4^{\log_43}\\ x^2+2x+2>\log_43\\ x^2+2x+1+1>\log_43\\ (x+1)^2>\log_4 3-1$
Левая часть неравенства всегда больше или равна $0$. Правая часть неравенства всегда меньше нуля (так как $\log_43<1$). Следовательно, неравенство будет истинно при любых $x$.
$4^{x^2+2x+2}-3>0-при~любых~x$
Переходим к исходному неравенству:
$\left( 4^{x^{2} -x-6} -1\right) \cdot \log_{\frac{1}{4}}\left( 4^{x^{2} +2x+2} -3\right) \leq 0\\ \left( 4^{x^{2} -x-6} -4^{0}\right) \cdot \left(\log_{\frac{1}{4}}\left( 4^{x^{2} +2x+2} -3\right) -0\right) \leq 0\\ \left( x^{2} -x-6-0\right) \cdot \left(\log_{\frac{1}{4}}\left( 4^{x^{2} +2x+2} -3\right) -\log_{\frac{1}{4}} 1\right) \leq 0$
Так как логарифм по основанию $\frac{1}{4}$ монотонно убывает, то равносильно:
$\left( x^{2} -x-6\right) \cdot ( 0,25-1)\left( 4^{x^{2} +2x+2} -3-1\right) \leq 0\\ \left( x^{2} -x-6\right)\left( 4^{x^{2} +2x+2} -3-1\right) \geq 0\\ ( x-3)( x+2)\left( 4^{x^{2} +2x+2} -4^{1}\right) \geq 0\\ ( x-3)( x+2)\left( x^{2} +2x+2-1\right) \geq 0\\ ( x-3)( x+2)\left( x^{2} +2x+1\right) \geq 0\\ ( x-3)( x+2)( x+1)^{2} \geq 0$

Ответ:$x\in (-\infty;-2]~\cup$ {$-1$} $\cup ~[3;+\infty)$