Экзамен прошлых летid 30262 баллаПоказательные неравенстваРешите неравенство: 161x−1−41x−1−2≥016^{\frac{1}{x}-1}-4^{\frac{1}{x}-1}-2\geq 016x1−1−4x1−1−2≥0.Показать решениеРешить похожиеРешениеПусть 𝑡=41x−1𝑡=4^{\frac{1}{x} -1}t=4x1−1, тогда 𝑡2−𝑡−2≥0𝑡^{2} -𝑡−2\geq 0t2−t−2≥0, откуда 𝑡≤−1𝑡\leq −1t≤−1 или 𝑡≥2𝑡\geq 2t≥2. Сделаем обратную замену: 41x−1≤−1 или 41x−1≥24^{\frac{1}{x}-1}\leq -1~или~4^{\frac{1}{x}-1}\geq 24x1−1≤−1 или 4x1−1≥2 41x−1>04^{\frac{1}{x}-1} > 04x1−1>0 для любых x⇒x \Rightarrowx⇒ у первого неравенства нет решений 41x−1≥2⇒22x−2≥22x−2≥12−3xx≥04^{\frac{1}{x}-1}\geq 2 \Rightarrow 2^{\frac{2}{x}-2}\geq 2\\ \frac{2}{x}-2\geq 1\\ \frac{2-3x}{x}\geq 04x1−1≥2⇒2x2−2≥2x2−2≥1x2−3x≥00<x≤230<x\leq \dfrac{2}{3}0<x≤32Ответ: (0;23]\left(0; \dfrac{2}{3}\right](0;32]
