Мы видим, что первое уравнение - уравнение окружности, второе уравнение дает пару прямых. Значит:
{ y = x должна пересекать окружность в двух точках y = − x тоже должна пересекать окружность в двух точках \begin{cases} y=x~ должна~ пересекать~ окружность~ в ~двух~точках\\ y=-x~ тоже~ должна~ пересекать~ окружность ~в~ двух~ точках \end{cases} { y = x должна пересекать окружность в двух точках y = − x тоже должна пересекать окружность в двух точках y = x y=x y = x x 2 + x 2 − 4 ( a + 1 ) x − 3 x a + 5 a 2 + 8 a + 3 = 0 x^{2} +x^{2} -4( a+1) x-3xa+5a^{2} +8a+3=0 x 2 + x 2 − 4 ( a + 1 ) x − 3 x a + 5 a 2 + 8 a + 3 = 0
По условию выше дискриминант должен быть больше 0 0 0
2 x 2 − 4 a x − 4 x − 2 a x + 5 a 2 + 8 a + 3 = 0 2 x 2 − x ( 6 a + 4 ) + 5 a 2 + 8 a + 3 = 0 2x^{2} -4ax-4x-2ax+5a^{2} +8a+3=0\\ 2x^{2} -x( 6a+4) +5a^{2} +8a+3=0 2 x 2 − 4 a x − 4 x − 2 a x + 5 a 2 + 8 a + 3 = 0 2 x 2 − x ( 6 a + 4 ) + 5 a 2 + 8 a + 3 = 0
Вычисляем дискриминант:( 6 a + 4 ) 2 − 40 a 2 − 64 a − 24 > 0 36 a 2 + 48 a + 16 − 40 a 2 − 64 a + 24 > 0 − 4 a 2 − 16 a − 8 > 0 q 2 + 4 a + 2 < 0 D = 16 − 8 = 8 = ( 2 2 ) 2 ⇔ ( − 4 − 2 2 2 ; − 4 + 2 2 2 ) ⇔ ( − 2 − 2 ; − 2 + 2 ) ( 6a+4)^{2} -40a^{2} -64a-24 >0\\ 36a^{2} +48a+16-40a^{2} -64a+24 >0\\ -4a^{2} -16a-8 >0\\ q^{2} +4a+2< 0\\ D=16-8=8=( 2\sqrt{2})^{2} \Leftrightarrow (\frac{-4-2\sqrt{2}}{2} ;\frac{-4+2\sqrt{2}}{2}) \Leftrightarrow ( -2-\sqrt{2} ;-2+\sqrt{2}) ( 6 a + 4 ) 2 − 40 a 2 − 64 a − 24 > 0 36 a 2 + 48 a + 16 − 40 a 2 − 64 a + 24 > 0 − 4 a 2 − 16 a − 8 > 0 q 2 + 4 a + 2 < 0 D = 16 − 8 = 8 = ( 2 2 ) 2 ⇔ ( 2 − 4 − 2 2 ; 2 − 4 + 2 2 ) ⇔ ( − 2 − 2 ; − 2 + 2 )
Теперь подставим :
x 2 + x 2 − 4 ( a + 1 ) x + 2 a x + 5 a 2 + 8 a + 3 = 0 2 x 2 − 4 a x − 4 x + 2 a x + 5 a 2 + 8 a + 3 = 0 2 x 2 − x ( 4 + 2 a ) + 5 a 2 + 8 a + 3 = 0 x^{2} +x^{2} -4( a+1) x+2ax+5a^{2} +8a+3=0\\ 2x^{2} -4ax-4x+2ax+5a^{2} +8a+3=0\\ 2x^{2} -x( 4+2a) +5a^{2} +8a+3=0 x 2 + x 2 − 4 ( a + 1 ) x + 2 a x + 5 a 2 + 8 a + 3 = 0 2 x 2 − 4 a x − 4 x + 2 a x + 5 a 2 + 8 a + 3 = 0 2 x 2 − x ( 4 + 2 a ) + 5 a 2 + 8 a + 3 = 0
Вычисляем дискриминант:
( 4 + 2 a ) 2 − 40 a 2 − 64 a − 24 > 0 1 + 16 a + 4 a 2 − 40 a 2 − 64 a − 24 > 0 − 36 a 2 − 48 a − 8 > 0 9 a 2 + 12 + 2 < 0 D = 144 − 72 = 72 = ( 6 2 ) 2 ⇔ ( − 12 − 6 2 18 ; − 12 + 6 2 18 ) ⇔ ( − 2 − 2 3 ; − 2 + 2 3 ) ( 4+2a)^{2} -40a^{2} -64a-24 >0\\ 1+16a+4a^{2} -40a^{2} -64a-24 >0\\ -36a^{2} -48a-8 >0\\ 9a^{2} +12+2< 0\\ D=144-72=72=( 6\sqrt{2})^{2} \Leftrightarrow (\frac{-12-6\sqrt{2}}{18} ;\frac{-12+6\sqrt{2}}{18}) \Leftrightarrow (\frac{-2-\sqrt{2}}{3} ;\frac{-2+\sqrt{2}}{3}) ( 4 + 2 a ) 2 − 40 a 2 − 64 a − 24 > 0 1 + 16 a + 4 a 2 − 40 a 2 − 64 a − 24 > 0 − 36 a 2 − 48 a − 8 > 0 9 a 2 + 12 + 2 < 0 D = 144 − 72 = 72 = ( 6 2 ) 2 ⇔ ( 18 − 12 − 6 2 ; 18 − 12 + 6 2 ) ⇔ ( 3 − 2 − 2 ; 3 − 2 + 2 )
Проставим полученные значения на числовой прямой:
( − 2 − 2 3 ; − 2 + 2 ) (\frac{-2-\sqrt{2}}{3} ;-2+\sqrt{2}) ( 3 − 2 − 2 ; − 2 + 2 )
Теперь проверим, лежит ли точка пересечения прямых на нашей окружности. Точкой пересечения прямых y = x y=x y = x y = − x y=-x y = − x ( 0 ; 0 ) ( 0;0) ( 0 ; 0 ) x x x y 0 y~ 0 y 0
0 + 0 − 0 + 0 + 5 a 2 + 8 a + 3 ≠ 0 D = 64 − 60 = 4 a 1 = − 8 + 2 10 = − 0 , 6 a 2 = − 8 − 2 10 = − 1 0+0-0+0+5a^{2} +8a+3\neq 0\\ D=64-60=4\\ a_{1} =\frac{-8+2}{10} =-0,6\\ a_{2} =\frac{-8-2}{10} =-1 0 + 0 − 0 + 0 + 5 a 2 + 8 a + 3 = 0 D = 64 − 60 = 4 a 1 = 10 − 8 + 2 = − 0 , 6 a 2 = 10 − 8 − 2 = − 1
Ответ: ( − 2 − 2 3 ; − 1 ) ∪ ( − 1 ; − 0 , 6 ) ∪ ( − 0 , 6 ; − 2 + 2 ) (\frac{-2-\sqrt{2}}{3} ;-1) \cup ( -1;-0,6) \cup ( -0,6;-2 + \sqrt{2}) ( 3 − 2 − 2 ; − 1 ) ∪ ( − 1 ; − 0 , 6 ) ∪ ( − 0 , 6 ; − 2 + 2 )
