Задание 19 ЕГЭ по математике профильной

Используем метод группировки:

$x^{2} +y-xy-x=0\\ x(x-1) -y(x-1) =0\\ (x-1)(x-y) =0\\ x=1~ или~ x=y$

Пусть $x=1$, тогда мы получаем следующее уравнение:
$a+ay^{2} -( 2a-5) +2ay+1=0$

оно должно иметь два корня:
$ay^{2} +2ay-a+6=0$

В данном уравнении при $a=0,0=6$, этого не может быть, следовательно, $a\neq 0$.

Исходя из этого условия, мы получим следующее:
$D=4a^{2} -4a( 6-a)  >0\\ 4a^{2} +4a^{2} -24a >0\\ 8a^{2} -24a >0\\ a^{2} -3a >0\\ a( a-3)  >0\\ \left[ \begin{array}{l} a< 0\\ a >3 \end{array} \right.$

Пусть $x=y$, тогда мы получаем следующее уравнение:

$ay^{2} +ay^{2} -( 2a-5) y+2ay+1=0\\ 2ay^{2} +5y+1=0\\ D=25-4\cdotp 2a >0\\ 25-8a > 0\\ a< \frac{25}{8}$
так как $a\neq 0$, то $2$ решения будет только при $D >0$.

Корни совпадают при: $y=1$, то $x=1$.

Подставим это значение в первое уравнение, чтобы исключить все получаемые $a$:

$a+a-( 2a-5) +2a+1=0\\ 2a+6=0\\ a=-3-исключаем$

Отмечаем все полученные значения на числовой прямой:

Получаем промежутки $( -\infty ; -3) \cup ( -3;0) \cup ( 3;\frac{25}{8})$.
 

Ответ: $( -\infty ; -3) \cup ( -3;0) \cup ( 3;\frac{25}{8})$.