Задание 19 ЕГЭ по математике профильной

Напишем ограничения: $a-x^{2} >0$, а на $a-y^{2}$ писать не будем, поскольку сейчас приравняем подлогарифмические выражения и данное условие будет выполняться автоматически. Запишем систему:

$\begin{cases} \ \ a-x^{2} =a-y^{2}\\ \ \ \ \ \ a-x^{2} >0\\ x^{2} +y^{2} =4x+6y \end{cases}$ 

Выделим полные квадраты в последнем уравнении и разложим на множители первое:

$\begin{cases} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ( y-x)( y+x) =0\\ x^{2} < a\Leftrightarrow |x|< \sqrt{a} \Leftrightarrow x\in ( -\sqrt{a} ;\sqrt{a})\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ( x-2)^{2} +( y-3)^{2} =13 \end{cases}$

Последнее - это уравнение окружности с центром в точке $( 2;3)$ и радиусом равным $\sqrt{13}$. 

 Построим графики и заметим, что существует только $3$ их пересечения. Обозначим их соответственно цифрами $1,2$ и $3$.

 Наши параметрические прямые, которые являются ограничениями параллельны $Oy$. Заметим, что правее точки $(1)$ двух решений уже не будет, как и левее точки $(2)$, поэтому будем рассматривать интервал между точками $(1)$ и $(2)$ (отмечены красным на чертеже).

Найдем абсциссу точки $(1)$, записав систему:
$\begin{cases} y=x\\ x^{2} +y^{2} =4x+6y \end{cases}$ 

решим эту систему, подставим $y=x$ во второе уравнение: $2x^{2} =10x\Leftrightarrow 2x( x-5) =0$, отсюда $x=5$ и $x=0$, видно, что $x=0$ удовлетворяет точке $(3)$, а не точке $(1)$, значит нужная нам абсцисса равна $5$. Подставим в наши параметрические ограничения: $\sqrt{a} \leq 5\Rightarrow a\leq 25$, не строгий знак, потому что в условии знак строгий и при $a=25$, решения $x=5$ все равно не будет (что нам и нужно).

Начнем искать точку $(2)$, используя аналогичную систему, только теперь для прямой $y=-x$:
$\begin{cases} y=-x\\ x^{2} +y^{2} =4x+6y \end{cases} \Leftrightarrow 2x^{2} =-2x\Leftrightarrow 2x( x+1) =0,$ 
точка $x=0$ удовлетворяет точке $(3)$, значит для точки $(2)$ подходит $x=-1$, теперь подставим $-\sqrt{a} < -1\Leftrightarrow a >1$.

Строгий знак, потому что при $a=1$, мы потеряем второй корень, что нам не нужно. Получили, что $a\in (1;25]$.

Ответ: $a\in ( 1;25]$.