Что такое бесконечность в математике и почему бесконечностей несколько

Множество — это просто группа объектов, которую мы рассматриваем вместе. Например, класс учеников, набор конфет или группа чисел.

Если элементов конечное число, их можно пересчитать и сравнить. Например, в одном классе 25 учеников, а в другом 30 — значит, во втором классе учеников больше. Такой набор с конечным числом элементов в математике называют конечным множеством.

Если же элементов бесконечно много (то есть множество бесконечное), просто посчитать их не получится. Бесконечные множества сравнивают иначе — для этого нужно поставить их элементы в пары.

Представим актовый зал. Если каждому зрителю достался один стул и свободных стульев не осталось, значит, зрителей и стульев поровну. Мы не считали ни тех ни других — просто поставили их в пары.

С бесконечными множествами можно сделать то же самое. Элементов поровну, если их удаётся разложить по парам так, что:

• у каждого элемента первой группы есть пара во второй;
• у каждого элемента второй группы есть пара в первой;
• на одну пару не претендуют сразу двое.

Это то же правило, что со стульями в зале: каждый сидит на своём месте, свободных стульев нет, на одном стуле не сидят двое.

Проверим этот способ на натуральных и чётных числах.

Натуральные: 1, 2, 3, 4, 5, … Чётные: 2, 4, 6, 8, 10, …

Каждое натуральное число умножаем на два — и получаем его пару:

1 → 2
2 → 4
3 → 6
4 → 8
5 → 10
…

Для каждого натурального числа нашлось своё чётное. И наоборот: у любого чётного числа есть пара среди натуральных — 18 достаётся 9, а 100 — 50. Лишних нет ни с одной стороны.

Но это кажется невозможным, ведь чётные числа — только часть натуральных.

Дело в том, что мы привыкли к логике конечных множеств: если в коробке 10 конфет и 5 из них шоколадные — шоколадных явно меньше. То есть для них часть всегда меньше целого. Но с бесконечными множествами это правило не работает. Здесь «поровну» — не результат счёта, а результат сопоставления по парам. Есть пара для каждого элемента — значит, поровну.

То же самое верно и для нечётных чисел: их тоже можно поставить в пару с натуральными: 1 → 1, 2 → 3, 3 → 5 и так далее. Поэтому нечётных чисел тоже столько же, сколько натуральных.

Количество элементов в множестве называют его мощностью: у класса из 25 учеников мощность равна 25. Получается, сравнивая множества по парам, мы как раз определяли их мощность — выясняли, одинаковое ли в них количество элементов.

Когда мы сравнивали натуральные и чётные числа, мы увидели, что у бесконечного множества и у его части мощность может совпадать. Но значит ли это, что у всех бесконечных множеств одинаковая мощность?

Оказывается, нет. Есть множества, которые нельзя поставить в пары с натуральными числами. Их называют несчётными. Чтобы понять, чем они отличаются от остальных, сначала разберёмся со счётными.

Счётная бесконечность

Счётным бесконечным называют множество, элементы которого можно пронумеровать: 1, 2, 3 и так далее. Не пересчитать до конца — а именно пронумеровать: каждому элементу дать свой номер, хотя конца у этого списка не будет.

Посмотрим на примеры таких множеств.

Целые числа

С натуральными числами всё просто, они уже идут по порядку: 1, 2, 3, 4, 5… А вот с целыми сложнее: среди них есть положительные и отрицательные, а ещё 0. Но им тоже можно присвоить номера. Например:

0 → 1
1 → 2
−1 → 3
2 → 4
−2 → 5
3 → 6
−3 → 7
…

Порядок можно выбрать и по-другому — например, поставить −1 перед 1. Главное, чтобы для каждого целого числа находился свой номер. Чисел и номеров бесконечно много, поэтому последнего числа и последнего номера нет. Но если выбрать любое конкретное число, его номер можно найти. Например, даже такое большое число, как 37 962 692 878 257 634, получит номер — 75 925 385 756 515 268.

Рациональные числа

Помимо натуральных и целых чисел, счётными являются и рациональные числа — обычные и десятичные дроби, например ½, ¾ и 1,25.

Рациональных чисел бесконечно много даже между двумя соседними целыми числами. Например, между 1 и 2 можно найти 1,1; 1,01; 1,001 и так далее. Но бесконечность сама по себе не мешает нумерации: рациональные числа тоже можно пронумеровать. Для этого их располагают в специальном порядке.

Например, положительные дроби можно расположить в таблице:

По строкам такую таблицу обойти не получится: первая строка бесконечная, до второй очередь никогда не дойдёт. Поэтому её проходят по диагоналям: сначала берут дроби на первой диагонали, потом на второй, потом на третьей. Рано или поздно очередь дойдёт до любой дроби. Повторяющиеся записи вроде ²⁄₂ и ¹⁄₁ пропускают, потому что это одно и то же число.

Так можно пронумеровать все положительные рациональные числа. Отрицательные рациональные числа и 0 тоже можно включить в нумерацию. Значит, рациональные числа — счётное множество.

Мощность счётных множеств

Натуральные, целые и рациональные числа выглядят очень по-разному — но у всех них есть кое-что общее: элементы можно пронумеровать. Поэтому их мощность одинакова. Её обозначают ℵ₀, «алеф-нуль» — это самая маленькая бесконечная мощность. Бо́льших бесконечностей существует сколько угодно (об этом дальше), но меньше ℵ₀ среди бесконечных нет ничего.

Казалось бы, любое бесконечное множество можно пронумеровать — ведь номеров тоже бесконечно много. Но это не так. Есть бесконечности другого масштаба — и действительные числа как раз один из таких примеров.

Почему действительные числа нельзя пронумеровать

Действительные числа — это все числа, которые можно отметить на обычной числовой прямой. Среди них есть рациональные, например ½ и 3, и иррациональные, например π, e и √2. Иррациональные числа нельзя записать в виде обычной дроби a/b, где a и b — целые числа.

Пронумеровать множество — значит поставить каждый его элемент в пару с натуральным числом. Если это невозможно, натуральных чисел на всех не хватает — значит, таких чисел больше, чем натуральных.

Именно так устроены действительные числа. Кантор доказал это с помощью простого приёма — диагонального метода.

Представим, что нам удалось составить полный список чисел от 0 до 1:

1. 0,12345…
2. 0,67891…
3. 0,45678…
4. 0,23456…
…

Возьмём по диагонали цифры после запятой: первую цифру у первого числа, вторую — у второго, третью — у третьего и так далее. Получаем 1, 7, 6 и 5.

Каждую заменим по правилу: единицу пишем как двойку, любую другую цифру — как единицу. Получаем 2, 1, 1, 1 — и складываем из них новое число: 0,2111…

Его точно нет в списке. С первым числом оно не совпадает, потому что отличается первой цифрой. Со вторым — второй. С третьим — третьей. И так далее: с каждым числом оно будет отличаться хотя бы в одной цифре.

Значит, какой бы список мы ни составили, мы всегда можем получить новое число, которого в нём нет. Поэтому все действительные числа даже от 0 до 1 невозможно пронумеровать — они образуют несчётное множество. Так мы видим, что бесконечные множества могут иметь разную мощность.

Мощность множества действительных чисел называют мощностью континуума и обозначают 𝔠. Она больше ℵ₀ — мощности счётных множеств.

Мы выяснили, что у натуральных и действительных чисел разные бесконечные мощности. Появляется вопрос: есть ли бесконечная мощность между ними — больше ℵ₀, но меньше 𝔠? Проще говоря, существует ли бесконечность, которая больше натуральных чисел, но меньше действительных?

Георг Кантор предположил, что нет. Между мощностью натуральных чисел и мощностью действительных чисел нет другой бесконечной мощности. Это предположение назвали гипотезой континуума. А в 1900 году один из самых влиятельных математиков того времени Давид Гильберт включил её первой в список 23 важных математических задач.

Позже математики попытались доказать или опровергнуть эту гипотезу. Но выяснилось, что с помощью существующих правил математики сделать это невозможно. Вопрос остаётся независимым от стандартных аксиом предмета.

Оказывается, бесконечностей не две и не три — их можно делать всё больше и больше.

Сначала посмотрим, как это работает на конечном множестве. Представим, что перед нами три продукта: хлеб, масло и сыр. Из них можно составить разные комбинации — например, взять только хлеб, хлеб с маслом, хлеб с сыром, всё сразу или вообще ничего. Таких вариантов ровно 8:

1. Ничего.
2. Только хлеб.
3. Только масло.
4. Только сыр.
5. Хлеб + масло.
6. Хлеб + сыр.
7. Масло + сыр.
8. Хлеб + масло + сыр.

Все возможные комбинации из элементов множества называют его подмножествами. Добавим колбасу — вариантов станет 16. Положим огурец — уже 32. А если достать майонез — будет вообще 64. Каждый новый продукт удваивает количество комбинаций.

То есть из нескольких элементов (продуктов) можно получить гораздо больше разных подмножеств (вариантов их комбинаций)

Теперь возьмём бесконечное множество — натуральные числа: 1, 2, 3, 4, … Из них можно составлять самые разные наборы: например, взять все чётные числа, все нечётные или только 1, 2 и 3. Таких наборов бесконечно много — гораздо больше, чем самих натуральных чисел. Значит, у множества всех подмножеств натуральных чисел мощность больше, чем у множества натуральных чисел.

Дальше можно повторить тот же шаг: взять множество всех этих подмножеств и снова составить множество всех его подмножеств. Получится ещё бо́льшая бесконечность. И так можно делать снова и снова.

Мы говорили, что с бесконечными множествами перестаёт работать привычное правило «часть меньше целого». Это видно на двух классических примерах.

Отель Гильберта

Представь отель с бесконечным числом комнат: 1, 2, 3, 4, 5, … Все комнаты заняты. Приезжает ещё один гость.

Администратор просит жильца из комнаты 1 перейти в комнату 2, из 2 — в 3, из 3 — в 4 и так далее. Каждый переезжает в следующую комнату. Комната 1 освобождается, и новый гость может в неё заселиться.

А теперь представь автобус, в котором бесконечно много пассажиров — столько же, сколько натуральных чисел. Администратор снова может всех разместить. Он просит жильца из комнаты 1 переехать в 2, из 2 — в 4, из 3 — в 6 и так далее. Старые гости занимают чётные комнаты, а нечётные освобождаются. В них можно поселить пассажиров автобуса.

Это ещё один пример того, почему бесконечные множества ведут себя не так, как конечные.

Парадокс Зенона

Древнегреческий философ Зенон Элейский сформулировал свои парадоксы в V веке до нашей эры.

Один из них можно пересказать так: чтобы дойти до финиша, сначала нужно пройти половину пути. Потом половину оставшегося. Потом половину от того, что осталось снова. Таких шагов бесконечно много — и кажется, что какой-то кусочек пути всегда будет оставаться. Значит ли это, что до финиша не добраться никогда?

Нет. Представим, что весь путь до финиша равен 1. Тогда первый отрезок равен ½, второй — ¼, третий — ⅛ и так далее. Каждый следующий вдвое короче предыдущего.

Если складывать эти отрезки один за другим, получаются такие суммы:

½ = 0,5

½ + ¼ = 0,75

½ + ¼ + ⅛ = 0,875

½ + ¼ + ⅛ + ¹⁄₁₆ = 0,9375

Каждая следующая сумма всё ближе к 1. В математике говорят, что последовательность сумм стремится к 1. Поэтому сумма всех этих отрезков равна всему пути:

½ + ¼ + ⅛ + ¹⁄₁₆ + … = 1

То есть бесконечно много отрезков могут составить конечное расстояние. На таких идеях основано понятие предела — но это уже отдельная тема.

С бесконечностью школьники встречаются в разных темах. Например, уже в младших классах можно заметить, что самого большого числа не существует: к любому числу можно прибавить единицу.

В средней школе бесконечность появляется в бесконечных десятичных дробях. Например, 0,333… = ⅓: цифра 3 после запятой продолжается бесконечно. В геометрических прогрессиях тоже встречается бесконечность: бесконечно много слагаемых иногда дают конечную сумму, как в парадоксе Зенона.

В старших классах с бесконечностью начинают работать уже более формально — в математическом анализе. Здесь появляется понятие предела. Он помогает описывать, к какому значению приближается функция, когда её аргумент растёт или приближается к определённому числу.

Например, запись 1/x → 0 при x → ∞ означает: чем больше становится x, тем ближе 1/x к нулю. При этом мы не делим единицу на бесконечность: ∞ — не обычное число, а обозначение неограниченного роста x.

С пределами связаны и асимптоты. Например, у функции y = 1/x график всё ближе подходит к осям координат, когда x становится очень большим по модулю, но не пересекает их. Такие прямые называют асимптотами.

На идее предела построены производная и интеграл — важнейшие понятия математического анализа.

• Бесконечность — не обычное число. Символ ∞ используют, когда говорят о неограниченном росте или о приближении к пределу.
• Бесконечные множества можно сравнивать по парам: если каждому элементу одного множества можно поставить в пару отдельный элемент другого и наоборот, их мощности одинаковы.
• Натуральные, целые и рациональные числа можно пронумеровать, хотя их бесконечно много. Поэтому они имеют одну и ту же бесконечную мощность — ℵ₀.
• Действительные числа нельзя полностью пронумеровать натуральными числами. Поэтому их мощность больше ℵ₀.
• Диагональный метод Кантора показывает, почему невозможно составить полный список действительных чисел от 0 до 1.
• Самой большой бесконечности не существует: для любого множества можно построить множество всех его подмножеств, и его мощность будет ещё больше.
• Гипотеза континуума утверждает, что между мощностью натуральных и действительных чисел нет другой бесконечной мощности. С помощью принятых аксиом математики нельзя ни доказать эту гипотезу, ни опровергнуть её.