Математические парадоксы, которые кажутся невозможными

Быстроногий Ахиллес решил устроить забег с черепахой. Черепахе дали фору: она стартует на 100 метров впереди. Ахиллес бежит намного быстрее. Он добегает до места, где в начале была черепаха, — но за это время она успевает проползти ещё 10 метров. Ахиллес преодолевает эти 10 метров — черепаха успевает уйти ещё на метр. Ахиллес пробегает метр — черепаха отползает ещё на 10 сантиметров. И так далее.

Кажется, что Ахиллес обречён: сколько бы он ни бежал, черепаха каждый раз оказывается впереди.

Где ошибка

Зенон, придумавший этот парадокс больше двух тысяч лет назад, разделил путь Ахиллеса на бесконечное количество всё более коротких отрезков.

Посмотри на пример:

1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + …

Каждый следующий кусок в два раза меньше предыдущего. Таких кусочков бесконечно много, но вместе они дают ровно 1. С расстоянием между Ахиллесом и черепахой происходит то же самое: промежутки становятся всё меньше и в итоге сходятся к нулю. Поэтому Ахиллес догоняет черепаху за конечное время. Такие ситуации математика описывает с помощью пределов.

Парадокс Зенона показывает, насколько легко запутаться, если пытаться описывать бесконечный процесс исключительно бытовыми рассуждениями.

Ты участвуешь в телешоу. Перед тобой три двери. За одной — автомобиль, за двумя другими — козы. Ты выбираешь дверь, скажем, левую. Ведущий знает, где автомобиль. Поэтому он открывает одну из двух оставшихся дверей — ту, за которой точно коза. Теперь закрыты две двери: твоя и ещё одна. Ведущий предлагает поменять выбор.

Что выгоднее: остаться или поменять?

На первый взгляд — без разницы. Остались две двери, значит, вроде бы 50 на 50.

Откуда берутся 2/3

В момент первого выбора шанс угадать автомобиль был 1/3. А значит, с вероятностью 2/3 автомобиль находился за одной из двух других дверей. После этого ведущий открывает одну из них. Но он не делает это случайно: он знает, где автомобиль, и намеренно показывает козу. Поэтому вероятность 2/3 не исчезает. Она остаётся у единственной другой закрытой двери.

Получается:

• оставить свою дверь — шанс выиграть 1/3;
• поменять — 2/3.

Представь, что в комнате 23 человека. Как думаешь, какова вероятность, что хотя бы у двоих из них день рождения приходится на одну дату? Ответ: чуть больше половины — 50,7%.

На первый взгляд это кажется странным. В году 365 дней, а людей всего 23. Но проблема в том, что мы обычно думаем только об одном возможном совпадении: например, о том, что чей-то день рождения совпадает с твоим. На самом деле сравнивать можно любую пару людей.

Например, среди пяти человек можно составить 10 пар: первый со вторым, первый с третьим, первый с четвёртым и так далее. Среди 23 человек получится уже 253 пары. Каждая из них — ещё одна возможность для совпадения.

Но откуда именно берутся 50,7%? Для этого проще посчитать обратное: какова вероятность, что ни у кого из 23 человек дни рождения не совпадут.

У первого человека может быть любой из 365 дней. Для второго остаётся 364 дня, если мы хотим избежать совпадения. Для третьего — 363, для четвёртого — 362 и так далее. Поэтому вероятность того, что все 23 человека родились в разные дни, рассчитывают так:

365/365 × 364/365 × 363/365 × … × 343/365 ≈ 49,3%.

Значит, вероятность хотя бы одного совпадения — это всё, что осталось от 100%:

100% − 49,3% = 50,7%.

Представим гостиницу с бесконечным количеством номеров: 1, 2, 3, 4, 5… И все номера заняты. Приезжает новый гость. В обычной гостинице администратор сказал бы:

— Извините, мест нет.

Но в отеле Гильберта место найдётся. Администратор просит гостя из номера 1 переехать в номер 2, гостя из номера 2 — в номер 3, гостя из номера 3 — в номер 4 и так далее. Каждый старый гость получает новый номер, а номер 1 освобождается. Нового постояльца можно заселить.

А если приедет бесконечное количество новых гостей? И для них можно найти место. Старых постояльцев можно переселить в чётные номера:

• 1 → 2;
• 2 → 4;
• 3 → 6;
• 4 → 8;
• И так далее.

Тогда все нечётные номера — 1, 3, 5, 7… — освободятся для новых гостей.

Такой мысленный эксперимент показывает, что бесконечное множество ведёт себя не так, как конечное.

Представим деревенского парикмахера, который бреет всех мужчин, не бреющихся самостоятельно, и только их. Бреет ли он самого себя? Если бреет — значит, он бреется сам. Но по условию он должен брить только тех, кто сам себя не бреет. Если не бреет — тогда он относится к мужчинам, которых парикмахер должен брить. Примерно так можно наглядно показать парадокс Рассела.

Представим множество всех множеств, которые не содержат самих себя. Теперь зададим тот же вопрос: содержит ли это множество само себя? Если содержит — оно не должно себя содержать. Если не содержит — оно подходит под собственное определение и должно себя содержать. Получается логическая ловушка.

Начнём с условия:

a = b

Для наглядности представим, что a = 3 и b = 3.

Умножаем обе части равенства на a:

a² = ab

Для наших чисел:

3² = 3 × 3

9 = 9

Теперь вычитаем b² из обеих частей:

a² − b² = ab − b²

Получаем:

9 − 9 = 9 − 9

0 = 0

Раскладываем обе части на множители:

(a − b)(a + b) = b(a − b)

А теперь обе части сокращаем на (a − b):

a + b = b

Но мы изначально знаем, что a = b. Значит:

a − b = 0

То есть на самом деле мы только что сократили на ноль.

Если подставить наши числа, исходное равенство выглядит так:

0 × 6 = 3 × 0

Обе части равны нулю.

Поэтому равенство

a + b = b

получено незаконным шагом. Все последующие действия уже ничего не доказывают. Но этим трюком легко поймать невнимательного зрителя.

Парадоксы Зенона, Монти Холла, дней рождения, отеля Гильберта, Рассела и фокус с 2 = 1 устроены по-разному. Но каждый из них показывает, что математическая интуиция не всегда совпадает с бытовой.

Мы привыкли считать, что два варианта — это примерно 50 на 50. Что полностью заполненное место нельзя заполнить ещё раз. Что бесконечность — это просто очень большое число. Что если рассуждение выглядит убедительно, значит, оно должно быть правильным.