Действия с десятичными дробями

Это числа, в которых целая и дробная части разделены запятой. Например: 3,75. Здесь 3 — целая часть, а 75 — дробная.

Они встречаются повсюду: в деньгах (2,50 рубля), в измерениях (1,75 метра), в рецептах (0,5 литра молока). Чтобы уверенно решать задачи, нужно научиться выполнять с ними четыре операции: сложение, вычитание, умножение и деление.

Запиши их друг под другом, выравнивая по запятой. Если у одной из дробей меньше десятичных знаков — допиши нули.

Складывай столбиком, как обычные числа. В ответе поставь запятую под запятыми.

Пример:

$\begin{array}{c}\hfill 240\\ \hfill +135\\ \hfill 375\end{array}$

Расположи их друг под другом, выравнивая по запятой.

Вычти числа без её учёта. В ответе поставь запятую под запятыми.

Пример:

$\begin{array}{cc}r@r& 500\\ -& 275\\ & 225\end{array}$

Перемножь данные числа, игнорируя наличие десятичной запятой. Затем определи общее количество цифр, расположенных после неё, в обоих исходных числах. Перенеси запятую влево на количество позиций, равное найденному суммарному числу знаков после неё.

Пример:

1,2 × 3,4 = 12 × 34 = 408 → учитываем два знака после запятой → 4,08

Умножение на 10, 100, 1000…

Это один из самых простых и полезных приёмов в математике. Он часто встречается в задачах ОГЭ и ЕГЭ.

Умножение на 0,1; 0,01; 0,001…

Иногда требуется умножить число на десятичную дробь, которая меньше целого числа: десятая (0,1), сотая (0,01), тысячная доля (0,001) и так далее.

Если делитель — натуральное число: делим как обычно, запятую ставим в ответе, когда переходим к дробной части.

Пример: 6,4 ÷ 2 = 3,2.

Если делитель — дробь: умножаем делимое и делитель на 10, 100 и т. д., чтобы делитель стал целым. Делим как обычно.

Пример: 4,2 ÷ 0,6 → умножаем оба числа на 10 → 42 ÷ 6 = 7.

Для проведения сравнения необходимо:

• Уравнять количество десятичных знаков после запятой, добавляя нули к дроби с меньшим их числом.
• Осуществить сравнение получившихся чисел как целых.

Примеры:

3,5 эквивалентно 3,50;

2,45 меньше, чем 2,5 (так как 2,45 < 2,50);

0,7 больше, чем 0,65 (потому что 0,70 > 0,65).

Чтобы представить обыкновенную в виде десятичной, выполни деление числителя на знаменатель.

Примеры:

$\frac{1}{2}=1÷2=0,5;$

$\frac{3}{4}=3÷4=0,75;$

$\frac{1}{3}=1÷3=0,(3)$ — бесконечная десятичная дробь с повторяющимся периодом.

Иногда удобно представить десятичную в виде обыкновенной — особенно при решении задач на части, проценты или деление.

Убери запятую и запиши число в числитель. В знаменатель поставь 1 с нужным количеством нулей:
1 знак → знаменатель 10;
2 знака → знаменатель 100;
3 знака → знаменатель 1000.

Сократи, если можно.

Примеры:

Некоторые десятичные дроби — бесконечные периодические.

Например:

$ 0,(3) = \frac{1}{3};$

$0,(6)=\frac{2}{3};$

$0,(142857)=\frac{1}{7}.$

Чтобы перевести их, используют специальные методы (например, уравнение с x), но на экзаменах чаще встречаются простые случаи.

Если дробь заканчивается нулями, её легко сократить. Если она больше 1, сначала выдели целую часть:

$2,4=2+0,4=2+\frac{2}{5}=\frac{12}{5}.$

В задачах ОГЭ и ЕГЭ часто требуется перевести дробь и сравнить её с другой — умей быстро сокращать!