Показательная функция

В этой статье мы разберёмся с быстрорастущей показательной функцией, а также поговорим про экспоненту. И нет, речь не про ту вкусную штуку, которой ты восполняешь дефицит белка при подготовке к экзаменам. Хотя по запросу в поисковике они примерно на одном уровне популярности.

Показательная функция задаётся уравнением
$$y=a^x$$
и обладает следующими свойствами:

если
$$a>1,$$
то функция возрастающая, а если
$$0<a<1$$ (то есть дробь) — убывающая.

А её графиком является экспонента (шок-контент).

Так как
$$a^0=1,$$
график всегда проходит через точку с координатами (0; 1).

Совет: не стоит её использовать при решении системы для восстановления координат. От неё удобно отталкиваться при определении коэффициентов смещения графика вдоль осей координат.

Пример 1. На рисунке изображён график функции $$f(x)=a^x.$$
Найти $$f(-2).$$

Пример 2: На рисунке изображён график функции $$f(x)=a^x+b.$$ Найти $$f(-2).$$

Пример 3: На рисунке изображён график функции $$f(x)=a^{x+b}.$$
Найти значение x, при котором f(x) = 125.

Помнишь число «Пи»? Это была первая константа (постоянная), с которой ты дружишь с пятого класса. Не менее важная и крутая константа — число e, оно же число Эйлера или e = 2,72…
И когда в основании показательной функции появляется это число, то уравнение принимает вид $$f(x)=e^x$$ и называется экспоненциальная функция или экспонента.

В № 11 профильной математики ЕГЭ ты не встретишь задание с данной функцией, но знать про неё нужно, потому что число Эйлера лежит в основании натурального логарифма, более известного как ln x, и активно применяется при работе с производными. Ты ещё много раз будешь с ней пересекаться, так что готовься к встрече.

Не забывай: если сомневаешься в ответе, то всегда можно перерешать задание вторым способом — составить систему из двух уравнений и вычислить значения коэффициентов. Проверяй себя: если функция возрастает, то основание больше 1, а если убывает, то дробное. Эти приёмы помогут тебе не допустить вычислительную неточность и исключить ошибку по невнимательности.