Теория

Неизменная спутница показательной функции — обратная ей логарифмическая функция
$f (x) = l o g_{a} x .$
Для неё работает всё то же правило: если a > 1, то функция возрастающая, а если 0 < a < 1 — убывающая. Но важно отметить, что логарифмическая функция существует только при x > 0.

Так как
$l o g_{a} 1 = 0,$
график всегда проходит через точку с координатами (1;0).

Совет: не стоит её использовать при решении системы для восстановления координат. От неё удобно отталкиваться при определении коэффициентов смещения графика вдоль осей координат.

А график, кстати, тоже имеет название — логарифмика.

Подготовка к экзаменам в 100балльном репетиторе

Примеры заданий

Пример 1. На рисунке изображён график функции
$f (x) = l o g_{a} x .$
Найти
$f (\frac{1}{27}) .$

Восстановим уравнение с помощью точки (3; –1)
$- 1 = l o g_{a} 3$
$a^{- 1} = 3$
$a = \frac{1}{3}$
Тогда
$f (\frac{1}{27}) = l o g_{\frac{1}{3}} \frac{1}{27} = 3$
Ответ: 3.

Пример 2. На рисунке изображён график функции
$f (x) = l o g_{a} x + b .$
Найти f(64).

Видишь +b? Коэффициент прибавляется к исходной функции, график смещается вверх или вниз. Так как
$f (x) = l o g_{a} x$
проходит через (1;0), а наш график
$f (x) = l o g_{a} x + b$
через (1; –3), получается, что он сместился на 3 единицы вниз. Значит, b = –3.

Восстановим уравнение с помощью точки (4; –2):
$- 2 = l o g_{a} 4 - 3$
$a^{1} = 4$
$a = 4$
Тогда
$f (64) = l o g_{4} 64 - 3 = 0$
Ответ: 0.

Пример 3. На рисунке изображён график функции
$f (x) = l o g_{a} (x + b) .$
Найти значение x, при котором f(x)=–4.

Видишь +b? Коэффициент прибавляется прямо к «иксу», график смещается вправо или влево. Так как
$f (x) = l o g_{a} x$
проходит через (1;0), а наш график
$f (x) = l o g_{a} (x + b)$
через (2;0), получается, что он сместился на 1 единицу вправо. Значит, b = –1. Вот так нелогично: ведь кажется, что должен быть +1. Но все правила для функций едины: при смещении вправо коэффициент становится отрицательным.

Восстановим уравнение с помощью точки (3; –1):
$- 1 = l o g_{a} (3 - 1)$
$a^{-} 1 = 2$
$a = \frac{1}{2}$
Тогда
$- 4 = l o g_{\frac{1}{2}} (x - 1)$
$x - 1 = 16$
$x = 17$
Ответ: 17.

Заключение

Не забывай: если сомневаешься в ответе, то всегда можно перерешать задание вторым способом — составить систему из двух уравнений и вычислить значения коэффициентов. Проверяй себя: если функция возрастает, то основание больше 1, а если убывает, то дробное. Эти приёмы помогут тебе не допустить вычислительную неточность и исключить ошибку по невнимательности.