Введение
Работа с квадратичной функцией — самый популярный и разнообразный вид задания № 11 в профильной математике ЕГЭ.
Квадратичная функция относится к семейству степенных функций и задаётся уравнением:
$f(x)=x^2$ — это, в свою очередь, частный случай
$f(x)=ax^2+bx+c$. График квадратичной функции называется парабола.
Свойства квадратичной функции
Повторим основные свойства, которые помогут тебе избежать решения системы из трёх уравнений с тремя неизвестными:
- Коэффициент a отвечает за направление ветвей и ширину параболы. Если a > 0, то ветви параболы направлены вверх, если a < 0 — вниз. Чем больше |a|, тем более узким будет график.
- Коэффициент c показывает точку пересечения параболы с осью Оy.
Если D < 0, то парабола не пересекает ось Ox. - Если D = 0, то вершина параболы лежит на оси Ox (то есть пересекает её в одной точке).
- Если D ≥ 0, то парабола пересекает ось Ox в двух точках, которые, кстати, являются корнями соответствующего квадратного уравнения.
- Запоминаем как собственное имя:
$ax^2 + bx + c = a(x — x_0)^2 + y_0,$ где (x₀; y₀) — координаты вершины параболы. Иногда это существенно облегчает выполнение задания без вычисления коэффициентов. - Если на графике видны координаты вершины, то по формуле
\(x_0 = -\frac{b}{2a}\) можно упростить себе счёт коэффициентов a и b.
Примеры заданий
Пример 1. На рисунке изображён график функции
$f(x)=–2x^2+bx+c.$ Найти f(10).
Не будем составлять систему, а воспользуемся формулой из пункта 6.
$$f(x) = a(x — x_0)^2 + y_0 = -2(x — 5)^2 + 1.$$
$$f(10) = -2(10 — 5)^2 + 1 = -49.$$
Ответ: -49.
Пример 2. На рисунке изображён график функции
$f(x)=ax^2+bx+c$. Найти f(5).
Воспользуемся системой уравнений. В общем случае их насчитывается 3 (для каждого неизвестного коэффициента). Но мы уже знаем, что c = –1 (точка пересечения с осью Оу).
Далее можно составить систему из двух уравнений относительно коэффициентов a и b, но нам достаточно определить только a и воспользоваться формулой
$$f(x)=a(x-x_0)^2+y_0$$
\[\begin{pmatrix}
(2;1) \\
(1;3)
\end{pmatrix}
\Rightarrow
\begin{cases}
4a + 2b — 1 = -1 \\
a + b — 1 = -3 \quad (x^2)
\end{cases}
\]
Решая систему:
\[
\begin{align*}
2a + 1 &= 5 \\
2a &= 4 \\
a &= 2
\end{align*}
\]
Функция:
\[
f(x) = 2(x — 1)^2 — 3.
\]
$$f(5)= 2(5-1)^2-3=29.$$
Ответ: 29.
Пример3. На рисунке изображён график функции
$f(x)=ax^2+bx+c.$ Найти f(–1).
Коэффициент a = 1 (классический изгиб верхушки параболы).
Координата x₀ = 5. Воспользуемся формулой
$x_0=\frac{(-b)}{2a}$
$5=\frac{(-b)}{2},$
$b=-10.$
Далее, выбрав одну точку, вычисляем значение c: (3;6) 9 – 30 + c = 6, c = 27.
Тогда
$f(x)=x^2-10x+27,$ считаем
$f(–1)=1+10+27=38$
Или же нам достаточно определить только a и воспользоваться формулой
$$f(x)=a(x-x_0)^2+y_0=(x-5)^2+2.$$
$$f(–1)=(–1-5)^2+2=38.$$
Ответ: 38
