Введение

Работа с квадратичной функцией — самый популярный и разнообразный вид задания № 11 в профильной математике ЕГЭ.

Квадратичная функция относится к семейству степенных функций и задаётся уравнением:
$f (x) = x^{2}$ — это, в свою очередь, частный случай
$f (x) = a x^{2} + b x + c$ . График квадратичной функции называется парабола.

Подготовка к экзаменам в 100балльном репетиторе

Свойства квадратичной функции

Повторим основные свойства, которые помогут тебе избежать решения системы из трёх уравнений с тремя неизвестными:

Коэффициент a отвечает за направление ветвей и ширину параболы. Если a > 0, то ветви параболы направлены вверх, если a < 0 — вниз. Чем больше |a|, тем более узким будет график.
Коэффициент c показывает точку пересечения параболы с осью Оy.
Если D < 0, то парабола не пересекает ось Ox.
Если D = 0, то вершина параболы лежит на оси Ox (то есть пересекает её в одной точке).
Если D ≥ 0, то парабола пересекает ось Ox в двух точках, которые, кстати, являются корнями соответствующего квадратного уравнения.
Запоминаем как собственное имя:
$a x^{2} + b x + c = a (x — x_{0})^{2} + y_{0},$ где (x₀; y₀) — координаты вершины параболы. Иногда это существенно облегчает выполнение задания без вычисления коэффициентов.
Если на графике видны координаты вершины, то по формуле
$x_{0} = - \frac{b}{2 a}$ можно упростить себе счёт коэффициентов a и b.

Примеры заданий

Пример 1. На рисунке изображён график функции
$f (x) = - 2 x^{2} + b x + c .$ Найти f(10).

Не будем составлять систему, а воспользуемся формулой из пункта 6.
$f (x) = a (x — x_{0})^{2} + y_{0} = - 2 (x — 5)^{2} + 1 .$
$f (10) = - 2 (10 — 5)^{2} + 1 = - 49 .$
Ответ: -49.

Пример 2. На рисунке изображён график функции
$f (x) = a x^{2} + b x + c$ . Найти f(5).

Воспользуемся системой уравнений. В общем случае их насчитывается 3 (для каждого неизвестного коэффициента). Но мы уже знаем, что c = –1 (точка пересечения с осью Оу).
Далее можно составить систему из двух уравнений относительно коэффициентов a и b, но нам достаточно определить только a и воспользоваться формулой
$f (x) = a (x - x_{0})^{2} + y_{0}$

\[\begin{pmatrix}
(2;1) \\
(1;3)
\end{pmatrix}
\Rightarrow
\begin{cases}
4a + 2b — 1 = -1 \\
a + b — 1 = -3 \quad (x^2)
\end{cases}
\]
Решая систему:
\[
\begin{align*}
2a + 1 &= 5 \\
2a &= 4 \\
a &= 2
\end{align*}
\]

Функция:
\[
f(x) = 2(x — 1)^2 — 3.
\]

$f (5) = 2 (5 - 1)^{2} - 3 = 29 .$
Ответ: 29.

Пример3. На рисунке изображён график функции
$f (x) = a x^{2} + b x + c .$ Найти f(–1).

Коэффициент a = 1 (классический изгиб верхушки параболы).
Координата x₀ = 5. Воспользуемся формулой
$x_{0} = \frac{(- b)}{2 a}$
$5 = \frac{(- b)}{2},$
$b = - 10 .$
Далее, выбрав одну точку, вычисляем значение c: (3;6) 9 – 30 + c = 6, c = 27.
Тогда
$f (x) = x^{2} - 10 x + 27,$ считаем
$f (- 1) = 1 + 10 + 27 = 38$
Или же нам достаточно определить только a и воспользоваться формулой
$f (x) = a (x - x_{0})^{2} + y_{0} = (x - 5)^{2} + 2 .$
$f (- 1) = (- 1 - 5)^{2} + 2 = 38 .$
Ответ: 38