Гипербола

Функция обратной пропорциональности задаётся уравнением $$f(x)=\frac{k}{x},$$ а её графиком является гипербола (нет, не та, что в литературе любит всё преувеличивать).

Что важно знать про гиперболу для экзамена:

1. k — коэффициент обратной пропорциональности, отвечающий за расположение ветвей гиперболы.
   Если k > 0, то ветви находятся в первой и третьей координатных четвертях.
   Если k < 0, то ветви — во второй и четвёртой координатных четвертях.
2. Из-за знаменателя D(y): (-∞;0)(0;+∞) и появляется асимптота — прямая, к которой гипербола приближается, но никогда не сможет её достичь и пересечь. Причём асимптоты могут быть как горизонтальными (x = 0), так и вертикальными (y = 0). У графика функции $$f(x)=\frac{k}{x},$$ асимптоты — оси координат.
3. Если график смещается, то смещаются и асимптоты. Смещение происходит параллельно осям координат (то есть исходным асимптотам). В самом уравнении это отображается с помощью новых коэффициентов $$f(x)=\frac{k}{x+a}+b.$$
   a — вертикальная асимптота, которая отвечает за смещение графика влево / вправо (изменение вдоль оси абсцисс, при котором добавляется число непосредственно к x).
   b — горизонтальная асимптота, которая отвечает за смещение графика вверх / вниз (аналогично коэффициенту «без x» в линейной и квадратичной функции; изменение вдоль оси ординат, при котором добавляется число непосредственно к исходной f(x) = y).

Пример 1: На рисунке изображён график функции $$f(x)=\frac{k}{x}.$$ Найти $$f(0,5).$$

Пример 2: На рисунке изображены графики функций

$f(x)=\frac{k}{x}$

и

$g(x)=ax+b,$

которые пересекаются в точках A и B. Найти абсциссу точки B.

Пример 3: На рисунке изображён график функции $$f(x)=\frac{k}{x+a}.$$ Найти $$f(-2,5).$$

Пример 4: На рисунке изображён график функции $$f(x)=\frac{k}{x}+b.$$ Найти, при каком значении x значение функции равно − 4,8.