Введение

Представь, что тебе нужно найти производную от длинного и страшного на вид многочлена. Не паникуй! Существует правило, которое превращает эту сложную задачу в набор простых действий. Это правило сложения производных. Его суть проста, красива и незамысловата: производная суммы функций равна сумме их производных. Давай разбираться, как это работает на практике.

Пусть есть некоторые элементарные функции f(x) и g(x), и q(x) = f(x) + g(x)

$q^{'} (x) = (f (x) + g (x)) ’ = f^{'} (x) + g^{'} (x)$

Проще говоря: неважно, сколько слагаемых в уравнении функции, просто вычисляй производную от каждого из них и суммируй.

Пример 1. Вычислить производную функции $y = 3 x^{3} — 5 x + 54$ .

По правилу сложения и вынесения постоянного множителя за знак производной получаем

$y ’ = (3 x^{3}) ’ — (5 x) ’ + (54) ’ = 3 \cdot 3 x^{3 - 1} — 5 + 0 = 9 x^{2} — 5$

Ответ: $9 x^{2} — 5$ .

Заметим, что степенная функция встречается довольно часто, даже в замаскированном виде. Увидишь корни любой степени — приводи их к степенному виду.

Пример 2. Вычислить производную функции $y = 5 x^{4} — \sqrt{x} + 0, 25$ .

По правилу сложения и вынесения постоянного множителя за знак производной получаем

$y ’ = (5 x^{4}) ’ - (\sqrt{x}) ’ + (0, 25) ’ = 5 \cdot 4 x^{4 - 1} — 5 \cdot 1 / 2 x^{- 1 / 2} + 0 = 20 x^{3} — \frac{5}{2 \sqrt{x}}$

Ответ: $20 x^{3} — \frac{5}{2 \sqrt{x}}$ .

Пример 3. Вычислить производную функции $y = 7 \log_{3} x + 4 \cos x — \frac{5 π}{2}$ .

По правилу сложения и вынесения постоянного множителя за знак производной получаем

$y ’ = (7 \log_{3} x + 4 \cos x — \frac{5 π}{2}) ’ = (7 \log_{3} x) ’ + (4 \cos x) ’ — (\frac{5 π}{2}) ’ = \frac{7}{x \ln 3} — 4 \sin x — 0 = \frac{7}{x \ln 3} — 4 \sin x$

Ответ: $\frac{7}{x \ln 3} — 4 \sin x$ .

Ты, наверное, недоумеваешь, почему в конце нет $- \frac{5}{2}$ ? А потому что число π – это просто число, то есть константа. Его производная равна нулю, как и у любого другого числа.

Пример 4. Вычислить производную функции $y = 8 e^{x} + \frac{1}{x}$