Введение

В разделе знакомства с таблицей производных, мы интуитивно усложнили свои элементарные функции умножением на число. И это логично, потому что табличные формулы в чистом виде встречаются на практике крайне редко, а накопленный опыт уже может подсказывать некоторые шаги. Теперь же разберёмся с вопросом умножения более подробно.

Умножение на число

Правило звучит так: если у элементарной функции есть постоянный числовой множитель, то он выносится за знак производной.

$(a \cdot f (x)) ’ = a \cdot f (x) ’$

Пример 1. Вычислить производную функции $y = 7 x^{9}$

По правилам дифференцирования степенной функции и вынесения числового множителя за знак производной $y ’ = 7 \cdot 9 x^{9 - 1} = 63 x^{8}$

Ответ: $63 x^{8}$ .

Пример 2. Вычислить производную функции $y = 4 π \cos x$

По правилам дифференцирования тригонометрической функции и вынесения числового множителя за знак производной получаем:

$y ’ = 4 π \cdot (\cos x) ’ = - 4 π \sin x$

Ответ: $- 4 π \sin x$

Подготовка к экзаменам в 100балльном репетиторе

Производная умножения функций

Пусть есть некоторые элементарные функции f(x) и g(x) и $q (x) = f (x) \cdot g (x)$ . Если вдруг ты думаешь, что при перемножении функций просто нужно взять производную от каждой из них и умножить, то ты ошибаешься.

Невероятно, но по определению производной формулируется следующее правило умножения:

$(f (x) \cdot g (x)) ’ = f^{'} (x) \cdot g (x) + f (x) \cdot g^{'} (x)$ .

Пример 3. Вычислить производную функции $y = \sin x \cdot \cos x$ .

По правилам дифференцирования тригонометрической функции и произведения получаем:

$y ’ = (\sin x) ’ \cdot \cos x + \sin x \cdot (\cos x) ’ = \cos^{2} x — \sin^{2} x = \cos 2 x$ .

Ответ: $\cos 2 x$ .

Пример 4. Вычислить производную функции $y = e^{x} \cdot \ln x$ .

По правилам дифференцирования получаем:

$y ’ = (e^{x}) ’ \cdot \ln x + e^{x} \cdot (\ln x) ’ = e^{x} \cdot \ln x + e^{x} \cdot \frac{1}{x} = e^{x} (\ln x + \frac{1}{x})$ .

Ответ: $e^{x} (\ln x + \frac{1}{x})$ .

Пример 5. Вычислить производную функции $y = 2 π \sqrt[3]{x^{2}} \cos x$ .

Обрати внимание, что $π$ — константа, это такое же число как и все остальные. По правилам дифференцирования получаем:

$y ’ = 2 π (\sqrt[3]{x^{2}}) \cdot \cos x + 2 π (\sqrt[3]{x^{2}}) \cdot (\cos x) ’ = 2 π \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1} \cdot \cos x + 2 π (\sqrt[3]{x^{2}}) \cdot (- \sin x) = 2 π (\frac{2}{3} \sqrt{x} \cos x — \sqrt[3]{x^{2}} \sin x)$