Введение

Ты в одном шаге от покорения двенадцатого номера профильного ЕГЭ и осознания, зачем тебе нужно столько правил. Сейчас ты в очередной раз восхитишься крутостью производной.

Сложная функция

Что такое сложная функция? Простыми словами это когда одна функция вложена в другую. Например, пусть есть некоторые элементарные функции f(x) и g(x) и q(x) = f(g(x)) — читается как «функция f(x) от функции g(x)». Страшно? Не бойся. Давай теперь на конкретном примере: пусть

$f (x) = \ln x$ ,

$g (x) = x^{2} — 1$ ,

тогда $q (x) = f (g (x)) = \ln (x^{2} — 1)$ .

Видишь, мы будто взяли и вложили функцию g(x) внутрь функции f(x). Это как тёплый пуховик, а внутри свитер. В таком случае f(x) — пуховик, а g(x) — свитер.

Подготовка к экзаменам в 100балльном репетиторе

Производная сложной функции

Зимним днём ты приходишь со школы и начинаешь снимать сначала пуховик, а потом свитер. С производной сложной функции точно так же: сначала дифференцируем внешнюю функцию, потом внутреннюю, а после перемножаем результаты.

Для наших f(x) и g(x) и q(x) = f(g(x)) это правило записывается так (для удобства опустим все иксы):

$q ’ = f^{'} (g) \cdot g ’$ .

Первый шаг — понять, какая функция будет внешней, а какая внутренней. По аналогии с порядком действий: то действие, которое самое первое — внутренняя функция.

Пример 1. Вычислить производную функции $f (x) = \ln (x^{2} — 1)$ .

По порядку действий мы бы сначала вычисляли то, что стоит внутри логарифма, а именно значение $x^{2} — 1$ . Это будет нашим свитерком. А сам логарифм — пуховиком. По правилу дифференцирования сложной функции:

$f^{'} (x) = (\ln (x^{2} — 1)) ’ = \ln^{'} (x^{2} — 1) \cdot (x^{2} — 1) ’ = \frac{1}{x^{2} — 1} \cdot 2 x = \frac{2 x}{x^{2} — 1}$

Ответ: $\frac{2 x}{x^{2} — 1}$ .

В этом примере мы сначала сняли пуховик — вычислили производную логарифма, а затем уже свитер — вычислили производную степенной функции (внутренности логарифма).

Пример 2. Вычислить производную функции $f (x) = (x^{2} — 1)^{5}$ .

По порядку действий мы бы сначала вычисляли то, что стоит внутри скобок, а именно значение $x^{2} — 1$ . Это будет нашим свитерком. А пятая степень — пуховиком. По правилу дифференцирования сложной функции:

$f^{'} (x) = (x^{2} — 1)^{5}' \cdot (x^{2} — 1) ’ = 5 (x^{2} — 1)^{4} \cdot 2 x = 10 x, (x^{2} — 1)^{4}$

Ответ: $10 x (x^{2} — 1)^{4}$ .

Пример 3. Вычислить производную функции $f (x) = 3 \ln (5 x — 3)^{8} — 63 x + 12$ .

Вот и пример, где сложная функция комбинируется с другими правилами дифференцирования. Более того, перед тобой не одно, а сразу два вложения функций: в логарифмическую вложена степенная функция, которая, в свою очередь, содержит линейную функцию. Всё делаем по порядку:

$f^{'} (x) = (3 \ln (5 x — 3)^{8} — 63 x + 12) ’ = 3 \cdot (\ln (5 x — 3)^{8}) ’ \cdot ((5 x — 3)^{8}) ’ \cdot (5 x — 3) ’ — 63 = 3 \cdot \frac{1}{(5 x - 3)^{8}} \cdot 8 (5 x — 3)^{7} \cdot 5 — 63 = 120 \cdot \frac{1}{(5 x - 3)^{8}} \cdot (5 x — 3)^{7} — 63 = \frac{120}{5 x - 3} — 63$

Ответ: $\frac{120}{5 x - 3} — 63$ .

Пример 4. Вычислить производную функции $f (x) = 3 e^{2 x} — 9 e^{x} + 12$ .

Вспомним основное правило, что производная $e^{x}$ равна $e^{x}$

$f^{'} (x) = (3 e^{2 x} — 9 e^{x} + 12) ’ = 3 e^{2 x} \cdot (2 x) ’ — 9 e^{x} = 6 e^{2 x} — 9 e^{x}$

Ответ: $6 e^{2 x} — 9 e^{x}$ .

Заключение

Сложная функция и правда непростой математический объект. Если после прочтения и разборов примеров у тебя остались вопросы, воспользуйся следующими правилами и попробуй прорешать их заново:

Всё, что отличается от простого «икс» — сложная функция, неважно, где этот «икс» находится;
Представь, что ты подставляешь в «икс» конкретное число и расставь порядок действий. Он будет идти от внутренней функции к внешней.