Введение
В экзаменационной работе ОГЭ по математике есть блок из пяти заданий, которые объединены общим сюжетом о строительстве бани. Основное внимание уделяется парному отделению и выбору подходящей печи. Эти задачи проверяют не только вычислительные навыки, но и умение работать с единицами измерения, табличными данными и геометрическими формулами. В этом материале мы разберём основные типы вопросов и обратим внимание на подводные камни, с которыми чаще всего сталкиваются школьники.
Теоретическая база: что необходимо усвоить перед решением
Все задания этого блока основаны на геометрии и базовых арифметических действиях.
Вот основные моменты, которые важно учитывать:
Расчёт объёма помещения. Чтобы определить, какая печь подойдёт для бани, сначала вычисляют вместимость парной. Помещение представляет собой прямоугольный параллелепипед, поэтому объём находят перемножением трёх его измерений:
V = длина × ширина × высота
Важно помнить: все величины нужно переводить в метры. Только так результат получится в кубических метрах (м³), которые указаны в характеристиках печей.Как найти площадь стен. Чтобы вычислить суммарную площадь всех вертикальных поверхностей, нужно сложить площади каждой из четырёх стен. В прямоугольном помещении стены попарно одинаковы, поэтому формула выглядит так:
S стен = 2 × (длина × высота + ширина × высота)Учёт дверного проёма. Если по условию требуется найти площадь стен без учёта двери, из общего результата нужно вычесть площадь двери. Здесь очень важно следить за размерностью: ширина двери часто дана в сантиметрах. Обязательно переводим её в метры, разделив на 100. Например, 60 см — это 0,6 м.
Критерии выбора печи. У каждой модели в таблице указан диапазон объёмов помещения, для которых она предназначена. Вычисленный тобой объём бани должен попадать внутрь этого интервала. Выход за границы (даже незначительный) означает, что печь не подходит.
Полезные приёмы для запоминания и избегания ошибок
Чтобы не запутаться в размерностях, возьми за привычку подчёркивать в условии все числа, выраженные в сантиметрах. Прежде чем умножать, убедись, что все величины приведены к одной единице измерения.
При расчёте скидки удобно пользоваться двумя способами: либо находить процент от числа и вычитать, либо сразу умножать стоимость на коэффициент (например, при скидке 10 % умножаем на 0,9).
Практикум: пошаговое решение задач
Рассмотрим конкретные задачи на основе типового варианта. Условия и таблица с характеристиками печей будут одинаковы для всех из них.
Исходные данные:
- Габариты парного отделения: длина 3,5 м, ширина 2,2 м, высота 2 м.
- Дверной проём: ширина 60 см, высота 1,8 м.
Таблица характеристик печей:
| Номер | Тип печи | Рекомендуемый объём, м³ | Масса, кг | Цена, руб. |
|---|---|---|---|---|
| 1 | Дровяная | 8–12 | 40 | 18 000 |
| 2 | Дровяная | 10–16 | 48 | 19 500 |
| 3 | Электрическая | 9–15,5 | 15 | 15 000 |
Важное дополнение: установка дровяных моделей не требует дополнительных вложений, а для монтажа электрической потребуется протянуть специальный кабель стоимостью 6 500 руб.
Задание 1. Сопоставление массы и номера печи
Задача
Установи соответствие между массами (15, 40 и 48 кг) и номерами печей.
Эта задача решается простым просмотром таблицы. Находим, какая масса какому номеру соответствует:
- Печь под номером 3 (электрическая) весит 15 кг.
- Печь под номером 1 (дровяная) имеет массу 40 кг.
- Печь под номером 2 (дровяная) самая тяжёлая — 48 кг.
Следуя порядку перечисленных масс (15, 40, 48), выписываем соответствующие номера: 3, 1, 2.
Итоговый ответ для бланка: 312.
Задание 2. Вычисление площади стен с вычетом двери
Вопрос
Чему равна суммарная площадь стен парилки (без учёта площади двери)? Ответ нужно дать в квадратных метрах.
Сначала найдём общую площадь всех четырёх стен, пользуясь формулой:
S общ = 2 × (3,5 × 2 + 2,2 × 2)
Выполняем действия по порядку:
3,5 × 2 = 7
2,2 × 2 = 4,4
7 + 4,4 = 11,4
2 × 11,4 = 22,8 м² — это площадь всех вертикальных поверхностей.
Теперь рассчитаем, сколько квадратных метров занимает дверь. Не забываем перевести сантиметры в метры: 60 см = 0,6 м.
S двери = 0,6 × 1,8 = 1,08 м²
Осталось вычесть площадь проёма из общей площади стен:
S искомая = 22,8 – 1,08 = 21,72 м²
Ответ: 21,72.
Задание 3. Сравнение стоимости дровяной и электрической печи
Вопрос
На сколько рублей покупка подходящей дровяной печи (с учётом установки) выгоднее, чем покупка электрической модели (тоже с установкой)?
Первым делом вычисляем реальный объём парной:
V = 3,5 × 2,2 × 2 = 15,4 м³
Теперь подберём дровяную печь, которая справится с прогревом такого помещения:
- Модель № 1 рассчитана на объёмы от 8 до 12 м³ — это слишком мало для нашей бани (15,4 > 12).
- Модель № 2 подходит для помещений 10–16 м³. Наше значение 15,4 попадает в этот диапазон, значит, выбор останавливаем на печи № 2.
- Электрическая печь № 3 тоже подходит по объёму, но сейчас нас интересует только дровяной вариант.
Считаем полную стоимость для каждого варианта:
- Дровяная печь № 2: цена 19 500 руб. + установка бесплатно = 19 500 руб.
- Электрическая печь № 3: цена 15 000 руб. + кабель 6 500 руб. = 21 500 руб.
Находим разницу в стоимости:
21 500 – 19 500 = 2 000 руб. Именно на столько дровяная печь обойдётся дешевле.
Ответ: 2000.
Задание 4. Расчёт цены со скидкой
Вопрос
На дровяную печь массой 40 кг была предоставлена скидка в размере 10 %. Какова стала её новая цена?
По таблице определяем, что масса 40 кг соответствует печи № 1. Её первоначальная стоимость — 18 000 руб.
Вычисляем величину скидки. 10 % от 18 000 — это 1 800 рублей (поскольку 18 000 ÷ 10 = 1 800).
Вычитаем скидку из начальной цены:
18 000 – 1 800 = 16 200 руб.
Ответ: 16200.
Задание 5. Определение радиуса закругления арки
Вопрос
На чертеже передней панели печи указаны размеры кожуха: ширина 66 см, высота от низа до верха арки 44 см. Требуется найти радиус закругления арки R (в сантиметрах).
Из условия известно, что центр окружности, по которой выполнена арка, расположен ровно посередине нижней части кожуха. Если мысленно провести радиусы к крайним точкам арки, образуется прямоугольный треугольник.
В этом треугольнике:
- Один катет (горизонтальный) равен половине ширины арки: 66 ÷ 2 = 33 см.
- Второй катет (вертикальный) — это расстояние от центра окружности до верхней точки арки. Согласно рисунку, оно составляет 44 см.
- Гипотенуза этого треугольника и есть искомый радиус R.
Применим теорему Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
R² = 33² + 44²
R² = 1089 + 1936
R² = 3025
Извлекаем квадратный корень:
R = √3025 = 55 см
Ответ: 55.
Анализ распространённых ошибок и советы по их предотвращению
Ошибка с переводом единиц. Самая частая проблема — подстановка величин без перевода единиц. Например, ширину двери 60 см записывают в формулу как 60 вместо 0,6 м. Это приводит к неверному результату.
Совет: всегда проверяй, в каких единицах указаны величины и в каких нужно записать ответ.Путаница в формулах объёма. Иногда ученики ошибочно умножают только два измерения вместо трёх. Чтобы этого избежать, всегда проговаривай про себя: «Длину умножаю на ширину, потом на высоту».
Неверный подбор печи. Легко ошибиться, если не обратить внимание на тип печи (дровяная или электрическая) или на границы диапазона.
Совет: сначала чётко определи, что нужно найти, а затем сверяй полученный объём с интервалами в таблице строка за строкой.Игнорирование стоимости установки. Многие, сравнивая цены, смотрят только на стоимость печей и забывают про 6 500 руб. за кабель для электрической модели. Внимательно перечитывай последние строки условия — там всегда указаны дополнительные затраты.
Смешение понятий «стены» и «пол». Если спрашивают площадь стен, не нужно считать длину, умноженную на ширину, — это площадь пола. Представляй себе реальное помещение: стены вертикальны.
Неправильное построение треугольника в задаче с аркой. Некоторые пытаются использовать полную ширину и полную высоту как катеты, не понимая, что центр окружности лежит на оси симметрии.
Важно запомнить: один катет — это половина ширины, другой — вертикальное расстояние от центра до верха.
Заключение
После изучения этого материала ты умеешь:
- правильно вычислять объём помещения и площадь его стен;
- ориентироваться в табличных данных и выбирать печь, которая подходит по характеристикам;
- сравнивать итоговые затраты на покупку и установку разных типов печей;
- находить стоимость товара после применения скидки;
- применять теорему Пифагора для решения практических геометрических задач.
Эти знания и внимательность к деталям помогут тебе уверенно справиться со всеми пятью заданиями блока «Печи» и набрать максимальный балл.
Автор:
Доброва Дарья, методист «100балльного репетитора» по математике ОГЭ/10 класса
