Тригонометрия в треугольнике

Прямоугольный треугольник — один из самых древних математических инструментов, решающих множество практических задач. Сколько же интересного можно в нём увидеть! Нам повезло, что мы можем решать задачи любого уровня сложности, используя его в качестве надёжного помощника.

Рассмотрим некий прямоугольный треугольник, который состоит из двух катетов, гипотенузы, одного прямого и двух острых углов.

А теперь возьмём и посчитаем все возможные отношения сторон друг к другу относительно углов и заметим, что для постоянной градусной меры эти отношения всегда принимают одно и то же значение независимо от величины сторон! Например, пусть ㄥА = 30°, тогда при любых AB, AC и BC:

• $\frac{AB}{AC}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
• $\frac{BC}{AC}=\frac{1}{2}$
• $\frac{AB}{BC}=\sqrt{3}$
• $\frac{BC}{AB}=\frac{\sqrt{3}}{3}$

Невероятно, но факт. И каждому из этих отношений дадим название.

Пусть для острого угла $\alpha$ в △ ABC AB = c, AC = b, BC = a. Где AB — гипотенуза, BC — противолежащий $\angle \alpha$ катет, а AC — прилежащий катет. Л. С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. — Геометрия. 7–9 классы:учебник для общеобразоват. учреждений, Москва, Просвещение, 2023[i]

Тогда:

Синусом острого угла называется отношение противолежащего катета к гипотенузе:
$\sin \alpha =\frac{a}{c}$. Л. С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. — Геометрия. 7–9 классы:учебник для общеобразоват. учреждений, Москва, Просвещение, 2023[i]

Косинусом острого угла называется отношение прилежащего катета к гипотенузе:
$\cos \alpha =\frac{b}{c}$. Л. С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. — Геометрия. 7–9 классы:учебник для общеобразоват. учреждений, Москва, Просвещение, 2023[i]

Тангенсом острого угла называется отношение синуса к косинусу, из чего следует, что это отношение противолежащего катета к прилежащему:
$tg\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{a}{b}$. Л. С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. — Геометрия. 7–9 классы:учебник для общеобразоват. учреждений, Москва, Просвещение, 2023[i]

Котангенсом острого угла называется отношение косинуса к синусу, из чего следует, что это отношение прилежащего катета к противолежащему:
$ctg\alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=\frac{b}{a}$. Л. С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. — Геометрия. 7–9 классы:учебник для общеобразоват. учреждений, Москва, Просвещение, 2023[i]

А теперь задумаемся: а только ли для острых углов можно вычислять данные отношения? Несколько веков назад над этим вопросом размышляли величайшие умы и придумали потрясающую модель — тригонометрическую окружность. Так как сегодня мы говорим о треугольниках, в которых углы измеряются от 0 до 180 градусов, то рассмотрим её половину — единичную полуокружность.

Почему именно единичную? Потому что так удобно. Точно так же как и в текстовых задачах, когда мы иногда принимаем путь или объём работы за единицу (целое) для удобства вычислений. Поэтому рассмотрим полуокружность с центром в начале системы координат и радиусом, равным единичке. Отправим по ней «бегать» точку М и остановим в произвольный момент. А теперь рассмотрим нашу точку М именно в системе координат M(x;y). И после несложных рассуждений выясним, что отрезки проекций данной точки на оси координат равны $OD=x=\cos \alpha$ , $MD=y=\sin \alpha$.

Точка может находиться также во второй четверти системы координат. Выполнить построение с помощью проекций мы сможем и в этом случае, поэтому для любого угла $0^{\circ }\le \alpha \le {180}^{\circ }$ синусом называется ордината точки M, а косинусом — абсцисса точки M. А так как координаты полуокружности находятся в диапазоне $-1\le x\le 1,0\le y\le 1$, то для углов треугольника справедливы равенства $-1\le \cos \alpha \le 1,0\le \sin \alpha \le 1$. Л. С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. — Геометрия. 7–9 классы:учебник для общеобразоват. учреждений, Москва, Просвещение, 2023[i]

По теореме Пифагора и с учётом информации выше мы получаем ОТТ ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$. Благодаря ему мы можем связывать отношения между собой и выражать их друг через друга.

Пример 1. В треугольнике TKS угол S равен 90°, TS = 35, tg T = 1,4. Найдите KS.

Пример 2. В треугольнике TAK угол K равен 90°, AK = $\sqrt{51}$, TA = 10. Найти cos T. fipi.ru[i]

Пример 3. В треугольнике CAS угол A равен 90°, CA = 7,2, sin⁡ C = 0,6. Найти CS. fipi.ru[i]

А что делать, если нужно вычислить значение тригонометрического отношения не в прямоугольном треугольнике? Есть несколько приёмов, которые ты можешь применить:

1. Воспользоваться формулами приведения и выразить необходимое значение для любого угла $0^{\circ }\le \alpha \le {180}^{\circ }$:
   

   $\sin (180-\alpha )=\sin \alpha$; Л. С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. — Геометрия. 7–9 классы:учебник для общеобразоват. учреждений, Москва, Просвещение, 2023[i]
   $\cos (180-\alpha )=-\cos \alpha$; Л. С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. — Геометрия. 7–9 классы:учебник для общеобразоват. учреждений, Москва, Просвещение, 2023[i]
   $\sin (90-\alpha )=\cos \alpha$; Л. С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. — Геометрия. 7–9 классы:учебник для общеобразоват. учреждений, Москва, Просвещение, 2023[i]
   $\cos (90-\alpha )=\sin \alpha$. Л. С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. — Геометрия. 7–9 классы:учебник для общеобразоват. учреждений, Москва, Просвещение, 2023[i]

2. Опустить высоту и работать с получившимися прямоугольными треугольниками.

Пример 4. В тупоугольном треугольнике BAZ BZ = AZ = 100, BP — высота, ZP = 8. Найдите cos BZA. fipi.ru[i]

Иногда в задачах приходится работать с тригонометрическими соотношениями как с инструментом, помогающим найти неизвестный элемент.

Пример 5. В треугольнике NCO угол O равен 90°, NC = 20, tg N = $\frac{4}{3}$. Найти CO. fipi.ru[i]

Существует множество задач и идей, в которых используются тригонометрические соотношения. Запомни важные моменты:

1. Синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы равных углов равны.
2. В прямоугольном треугольнике с острыми углами $\alpha$ и $\beta$.

При решении используй базовую таблицу значений для углов 30, 45 и 60 градусов, которую можно легко запомнить с помощью простого алгоритма записи (если ты ещё не знаешь его, то скорее присоединяйся к курсу по математике). А ещё — всегда выполняй построение треугольника и не забывай проверять, все ли элементы находятся на своих местах и соответствуют условию задачи.