Треугольник и его элементы

Элементы треугольника

Треугольник — многоугольник с тремя вершинами (и тремя сторонами). Но именно этот минимальный многоугольник открыл в своё время для тебя целый геометрический мир. Сейчас мы повторим всё-всё, что о нём знаем и, конечно, полюбуемся на этого красавца в задачах первой части профильного ЕГЭ. [i]

Углы

Сумма углов в любом треугольнике 180 градусов. [i]
Внешний угол — угол, смежный с его внутренним углом и равный сумме двух несмежных с ним углов. [i]
⦣4 = ⦣1 + ⦣2 [i]

Внешний угол треугольника — Источник: Базовые понятия и определения из учебника Атанасян, Л.С. Геометрия. 7–9 классы: учебник для общеобразоват. учреждений/ Л. С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. — 20-е изд. — М.: Просвещение, 2023. — 416 с

Подготовка к экзаменам в 100балльном репетиторе

Отрезки

Биссектриса

Биссектриса треугольника — отрезок биссектрисы угла треугольника (делит угол пополам), соединяющий вершину с точкой противоположной стороны. [i]

Это знают все, но часто забываются красивые свойства биссектрисы:

Все точки биссектрисы равноудалены от сторон угла: то есть если из некоторой точки на стороны опустить перпендикуляры, то их длины будут равны. Верно и обратное утверждение: если точка равноудалена от сторон угла, то она 100% лежит на биссектрисе. [i]

Биссектриса треугольника делит сторону, к которой она проведена, пропорционально двум другим сторонам треугольника. [i]

Биссектрисы внутреннего и внешнего углов треугольника образуют угол 90 градусов (это следует из смежности данных углов). ⦣MCK—прямой.

Биссектрис у треугольника три. И все три биссектрисы пересекаются в одной точке внутри треугольника.

Собирая воедино 1-е и 4-е свойства, оказывается, что точка пересечения биссектрис равноудалена от всех сторон треугольника и является центром вписанной в него окружности.

Медиана

Если биссектрису все легко запоминают, то вот с появлением медианы уже начинается путаница. Запоминаем: medium — средний, middle — середина, медиана — отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. [i]

Медиана делит треугольник на два равновеликих (равных по площади) треугольника. [i]

Медиан у треугольника также три, и все три они пересекаются в одной точке.
Медианы точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины. Обрати внимание: вся медиана составляет три части $\frac{A A_{1}}{O A_{1}} = \frac{3}{1}$ [i]

$\frac{A O}{O A_{1}} = \frac{B O}{O B_{1}} = \frac{C O}{O C_{1}} = \frac{2}{1}$

Высота

h — именно так обозначается чаще всего высота и схематично даже похожа на неё. Высота в треугольнике — перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону. Почему не к стороне, как предыдущие отрезки? Скажем спасибо тупоугольному треугольнику за это. Дело в том, что высоты, опущенные из острых углов данного треугольника просто не могут лежать во внутренней части, потому что это противоречит теореме о сумме углов треугольника. Но высота есть, просто находится «снаружи». А чтобы её построить, необходимо продлить противоположную сторону и опустить на неё перпендикуляр из вершины. [i]

Высот у любого треугольника также три. И все они (ну или их продолжения) пересекаются в одной точке. H—точка пересечения высот.

Назовём это свойство «создаёт прямоугольный треугольник». Если не знаешь, что делать в задаче — строй высоту и работай с полученным треугольником, часто это добавляет много полезной информации.
Если построить две высоты в треугольнике, то выполняется следующее:
- Через точки AC1A1C можно провести окружность. Причём AC — диаметр окружности.

- Образуются подобные треугольники. Обрати внимание: равенство углов следует не из параллельности сторон A1C1 и AC, а из свойства выше, про существование окружности.

Серединный перпендикуляр

Факт №0. Самый важный. Это не медиана и не высота.

Серединный перпендикуляр — перпендикуляр, проведённый через середину стороны треугольника. Он особенный, потому что строится не из вершины треугольника. [i]

Любая точка, лежащая на серединном перпендикуляре, равноудалена от концов отрезка. [i]
Это значит, что если вдруг у тебя в задаче попался серединный перпендикуляр, то первое, что ты делаешь — проводишь отрезки к вершинам-концам отрезка и отмечаешь, что они равны.

Серединный перпендикуляр треугольника. Свойство 1

Не поверишь, но их тоже у треугольника три. И да, они тоже все пересекаются в одной точке. Более того (см. свойство 3).
Точка пересечения серединных перпендикуляров — центр описанной окружности треугольника. Что также логично, если собрать воедино первые два свойства. [i]

Серединный перпендикуляр треугольника. Свойство 3

Четыре замечательные точки треугольника

Запоминаем как таблицу умножения:

Точка пересечения биссектрис — центр вписанной окружности.
Точка пересечения медиан — центроид — деление в отношении 2:1.
Точка пересечения высот — ортоцентр.
Точка пересечения серединных перпендикуляров — центр описанной окружности.

Виды треугольников

Классифицируют треугольники обычно относительно углов: остроугольный, прямоугольный, тупоугольный или равенства сторон: произвольный (три стороны разные), равнобедренный (две стороны равны) и равносторонний (три стороны равны).

Самые выделяющиеся из них это прямоугольный (про него можно подробнее почитать тут) и равнобедренный.

У равнобедренного треугольника равные стороны называются боковыми, а третья сторона — основание.

Углы при основании равны. [i]
В равнобедренном треугольнике, если из вершины опустить биссектрису к основанию, то она также будет являться высотой, медианой и, логично, серединным перпендикуляром. То есть все четыре элемента совпадают.
AH — биссектриса, медиана, высота, серединный перпендикуляр.
Обрати внимание: это касается только отрезка, построенного к основанию, но не к боковым сторонам. Для них это снова четыре разных отрезка.

Если основание равно боковой стороне, то треугольник называется равносторонним или «правильным», у него все углы также равны и составляют по 60 градусов. [i]

Пример 1. Углы треугольника относятся как 3:2:5. Найти меньший из них. Ответ дать в градусах. [i]

Треугольник и его элементы. Пример 1

Ответ: 36.

Пример 2. В треугольнике ABC угол C равен 54°, AD и BE  — биссектрисы, пересекающиеся в точке O. Найти угол AOB. Ответ дать в градусах. [i]

Треугольник и его элементы. Пример 2

Пусть ∠A = 2x, ∠B = 2y (здесь и далее все вычисления в градусах).

Так как проведены биссектрисы, то они делят углы пополам и в $Δ A B O ∠ B A O = x$ , $∠ A B O = y$ .

По теореме о сумме углов треугольника:

$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180 \Rightarrow ∠ A + ∠ B = 2 x + 2 y = 180 - 54 = 126 \Rightarrow x + y = 63$

Рассмотрим $Δ A B O$ :

$∠ B A O + ∠ A B O + ∠ A O B = 180 \Rightarrow ∠ A O B = 180 - (x + y) = 180 - 63 = 117$

Ответ: 117.

Пример 3. В треугольнике ABC CH — высота, AL — биссектриса, K — точка пересечения прямых CH и AL, угол BAC равен 36°. Найти угол AKC. Ответ дать в градусах. [i]

Треугольник и его элементы. Пример 3

Ответ: 126.

Пример 4. В треугольнике ABC угол A равен 109°, угол C равен 4°. На продолжении стороны AB за точку B отложен отрезок BK, равный стороне BC. Найти угол K треугольника BCK. Ответ дать в градусах. [i]

Треугольник и его элементы. Пример 4

Ответ: 33,5.

Пример 5. В треугольнике ABC угол A равен 55°, угол B равен 75°, CT — биссектриса внешнего угла при вершине C, причём точка T лежит на прямой AB. На продолжении стороны AC за точку C выбрана такая точка D, что CD = CB. Найти угол BTD. Ответ дать в градусах. [i]

Треугольник и его элементы. Пример 5

Ответ: 20.

Пример 6. Два угла треугольника равны 132° и 47°. Найдите тупой угол, который образуют высоты треугольника (или их продолжения), выходящие из вершин этих углов. Ответ дать в градусах. [i]

Треугольник и его элементы. Пример 6

Ответ: 179.

Пример 7. В треугольнике ABC проведена биссектриса AD и AB = AD = CD Найти меньший угол треугольника ABC. Ответ дать в градусах. [i]

Треугольник и его элементы. Пример 7

Пусть $∠ C A B = 2 x \Rightarrow ∠ D A B = x$ .

Рассмотрим $Δ A C D$ — равнобедренный $\Rightarrow ∠ C = ∠ A = x \Rightarrow ∠ C D A = 180 - 2 x \Rightarrow ∠ A D B = 2 x$ (как смежный угол с $∠ C D A$ ).

Рассмотрим $Δ A D B$ — равнобедренный $\Rightarrow ∠ D = ∠ B = 2 x$ .

$∠ A + ∠ D + ∠ B = 180 \Rightarrow x + 2 x + 2 x = 180$

5x = 180

x = 36

Ответ: 36.

Пример 8. В треугольнике ABC AC = BC, высота BH равна 2, угол C равен 45 градусам. Найти BC. [i]

Треугольник и его элементы. Пример 8

Обрати внимание, что в этой задаче высота проведена к боковой стороне, а не к основанию. Значит, она не будет медианой и высотой, поэтому мы и воспользовались свойством высоты «образует прямоугольный треугольник» и просто поработали уже с ним.

Ответ: 2.

Задач, посвящённых треугольникам очень-очень много. Они встречаются в чистом виде, а также как элементы четырёхугольников. Не забывай основные свойства и замечательные отрезки и точки в треугольниках. Всегда при встрече терминов используй их смысл и наноси на рисунок: есть биссектриса? Отмечаем равные углы. Медиана? Ставим отметки, что отрезок пополам поделился. И помни, треугольник — твой лучший друг и помощник в решении даже самых сложных планиметрических задач и вся эта информация будет тебе полезна даже в 17-м номере экзамена.