Почему одни фотоны выбивают электроны, а другие — нет? И от чего зависит энергия вылетающих частиц? Ответы на эти вопросы даёт уравнение фотоэффекта, сформулированное Альбертом Эйнштейном.
Определения и ключевые формулы
Фотоэффект — процесс вырывания электронов из вещества, который вызван электромагнитным излучением.
Чтобы вырвать электрон из атома, нужно затратить некоторую энергию, которая называется работой выхода.
Электронная эмиссия — это явление испускания электронов твёрдым телом за счёт облучения электромагнитными волнами или подведения тепловой энергии.
Работа выхода ($A_\text{вых}$) — минимальная энергия, которую необходимо затратить для эмиссии электрона из металла или другого вещества в вакуум. Измеряется в джоулях (Дж).
Уравнение Эйнштейна для фотоэффекта:
$E_\text{ф} = A_\text{вых} + E_\text{к}$
$h\nu = h\nu_\text{min} + \frac{mv^2}{2}$
В этом уравнении:
- $E_\text{ф}$ — энергия падающего электромагнитного излучения, Дж;
- $A_\text{вых}$ — работа выхода, Дж;
- $E_\text{к}$ — кинетическая энергия выбитого фотоэлектрона, Дж;
- $h$ — постоянная Планка, примерно равная $6{,}6 \cdot 10^{-34}$ Дж·с;
- $\nu$ — частота электромагнитного излучения, Гц;
- $\nu_\text{min}$ — минимальное значение частоты электромагнитного излучения, при которой в данном случае наблюдается фотоэффект, Гц;
- $m$ — масса фотоэлектрона, примерно равная $9{,}1 \cdot 10^{-31}$ кг;
- $v$ — скорость выбитого фотоэлектрона, м/с.
Если приложить к фотоэлементу запирающее напряжение, равное отношению кинетической энергии к модулю заряда электрона, то фототок прекратится.
Запирающее напряжение ($U_\text{зап}$) — это минимальное напряжение, при котором ни один фотоэлектрон не достигает анода.
$eU_\text{зап} = E_\text{к}$
В таком случае уравнение Эйнштейна для фотоэффекта будет иметь следующий вид:
$E_\text{ф} = A_\text{вых} + eU_\text{зап}$
Таким образом, в формуле $E_\text{ф} = A_\text{вых} + E_\text{к}$ каждая из переменных может быть расписана следующими способами:
$E_\text{ф} = h\nu = h\frac{c}{\lambda}$
$A_\text{вых} = h\nu_\text{min} = h\frac{c}{\lambda_\text{max}}$
$E_\text{к} = eU_\text{зап} = \frac{mv^2}{2}$
Задание 1
Металлическую пластину освещают светом. Металл, из которого сделана пластина, имеет работу выхода, равную 4,7 эВ. Максимальная кинетическая энергия вылетающих фотоэлектронов равна 3,2 эВ. Чему равна энергия фотонов, падающих на пластину? Ответ дайте в эВ.
Запишем уравнение Эйнштейна для фотоэффекта:
$E_\text{ф} = A_\text{в} + E_\text{к}$
$E_\text{ф} = 4{,}7 + 3{,}2 = 7{,}9 \text{ эВ}$
Ответ: 7,9 эВ.
Задание 2
Поток фотонов выбивает из металла фотоэлектроны, максимальная кинетическая энергия которых $E_\text{к} = 9$ эВ. Энергия фотонов $E_\text{ф}$ в 4 раза больше работы выхода фотоэлектронов. Какова энергия фотонов? Ответ дайте в эВ.
По условию $E_\text{ф} = 4A_\text{в}$
Запишем уравнение Эйнштейна для фотоэффекта:
$E_\text{ф} = A_\text{в} + E_\text{к}$
$E_\text{ф} = \frac{E_\text{ф}}{4} + E_\text{к}$
$\frac{3}{4}E_\text{ф} = E_\text{к}$
$E_\text{ф} = \frac{4}{3}E_\text{к} = \frac{4}{3} \cdot 9 = 12 \text{ эВ}$
Ответ: 12 эВ.
Задание 3
На калиевый фотокатод, для которого работа выхода электронов равна 2,2 эВ, падает поток фотонов с энергией 12,2 эВ. Определите запирающее напряжение, при котором прекратится фототок. Ответ дайте в В.
Запишем уравнение Эйнштейна для фотоэффекта:
$E_\text{ф} = A_\text{в} + E_\text{к}$
$E_\text{ф} = A_\text{в} + eU_\text{зап}$
$1 \text{ эВ} = 1{,}6 \cdot 10^{−19} \text{ Дж}$
$U_\text{зап} = \frac{E_\text{ф} − A_\text{в}}{e} = \frac{12{,}2 \cdot 1{,}6 \cdot 10^{−19} − 2{,}2 \cdot 1{,}6 \cdot 10^{−19}}{1{,}6 \cdot 10^{−19}} = 10 \text{ В}$
Ответ: 10 В.
Задание 4
В ходе опыта платиновый фотокатод, для которого работа выхода электронов равна $10 \cdot 10^{-19}$ Дж, освещается светом. Чему равна максимальная длина волны света, при освещении которым ещё наблюдается фотоэффект? Ответ дайте в нм.
Если $\lambda_\text{max} \quad \Rightarrow \quad \downarrow E_\text{ф} = h\frac{c}{\lambda_\text{кр}\uparrow}$, энергия фотона минимальна и кинетическая энергия $E_\text{к} = 0$.
Максимальная длина волны, при которой наблюдается фотоэффект, — красная граница. Необходимо найти $\lambda_\text{кр}$.
Запишем уравнение Эйнштейна для фотоэффекта:
$E_\text{ф} = A_\text{в} + E_\text{к}$
$h\frac{c}{\lambda_\text{кр}} = A_\text{в} + 0 \quad \Rightarrow \quad \lambda_\text{кр} = \frac{hc}{A_\text{в}} = \frac{6{,}6 \cdot 10^{−34} \cdot 3 \cdot 10^{8}}{10 \cdot 10^{−19}} = 1{,}98 \cdot 10^{−7} \text{ м} = 198 \text{ нм}$
Ответ: 198 нм.
Задание 5
Для исследования явления фотоэффекта в опыте используют пластину, изготовленную из металла, работа выхода электронов для которого равна 6 эВ. На металлическую пластину падает монохроматический свет, длина волны которого составляет $\frac{3}{4}$ длины волны, соответствующей красной границе фотоэффекта для данного металла. Определите максимальную кинетическую энергию выбиваемых электронов. Ответ дайте в эВ.
Запишем уравнение Эйнштейна для фотоэффекта:
$E_\text{ф} = A_\text{в} + E_\text{к}$
$A_\text{в} = \frac{hc}{\lambda_\text{кр}}$ (1)
$\lambda = \frac{3}{4}\lambda_\text{кр} \quad \Rightarrow \quad \lambda_\text{кр} = \frac{4}{3}\lambda$ (2)
Подставим (2) в (1):
$A_\text{в} = \frac{hc}{\lambda} \cdot \frac{3}{4} \quad \Rightarrow \quad \frac{hc}{\lambda} = \frac{4}{3}A_\text{в}$
$E_\text{ф} = \frac{hc}{\lambda} = \frac{4}{3}A_\text{в}$
$\frac{4}{3}A_\text{в} = A_\text{в} + E_\text{к}$
$E_\text{к} = \frac{1}{3}A_\text{в} = \frac{1}{3} \cdot 6 = 2 \text{ эВ}$
Ответ: 2 эВ.
Задание 6
Длина волны, соответствующая красной границе фотоэффекта для фотокатода, изготовленного из калия, $\lambda_\text{кр} = 625$ нм. Найдите значение максимальной кинетической энергии электронов, вылетающих с поверхности фотокатода, при освещении его светом с длиной волны $\lambda = 400$ нм. Ответ дайте в эВ.
Запишем уравнение Эйнштейна для фотоэффекта:
$E_\text{ф} = A_\text{в} + E_\text{к}$
$E_\text{ф} = \frac{hc}{\lambda}; \quad A_\text{в} = \frac{hc}{\lambda_\text{кр}}$
$\frac{hc}{\lambda} = \frac{hc}{\lambda_\text{кр}} + E_\text{к}$
$E_\text{к} = hc\left(\frac{1}{\lambda} − \frac{1}{\lambda_\text{кр}}\right) = 6{,}6 \cdot 10^{−34} \cdot 3 \cdot 10^{8} \left(\frac{1}{400 \cdot 10^{-9}} − \frac{1}{625 \cdot 10^{−9}}\right) = 1{,}782 \cdot 10^{−19} \text{ Дж}$
$E_\text{к} =1{,}782 \cdot 10^{−19} \text{ Дж} = \frac{1{,}782 \cdot 10^{−19} \text{ Дж}}{1{,}6 \cdot 10^{−19}} = 1{,}11375 \text{ эВ}$
Ответ: 1,11375 эВ.
Авторы:
Саня Эбонит, преподаватель «100балльного репетитора» по физике ЕГЭ;
Кир Синюткин, методист «100балльного репетитора» по физике ЕГЭ
