Механическая работа

Механическая работа: как посчитать и что она означает

В физике слово «работа» означает не совсем то, что в обычной жизни. Можно, например, держать тяжёлый рюкзак и сильно устать — но с точки зрения физики работа при этом равна нулю. А можно легко толкнуть предмет, и работа уже будет совершена. Чтобы не путаться, важно разобраться, что именно физики называют работой силы.[i]

Что такое работа постоянной силы

Работой постоянной силы при прямолинейном движении называется скалярная физическая величина, численно равная произведению модуля силы, модуля перемещения и косинуса угла между ними.
$A = | \vec{F} | \cdot | \vec{S} | \cdot \cos α$
Проще говоря, важно не только то, насколько велика сила и какое расстояние прошло тело, но и то, в каком направлении действует сила относительно движения. Если сила направлена туда же, куда движется тело, она «помогает» движению, и работа получается положительной. Если сила направлена перпендикулярно, она вообще не влияет на движение в этом направлении — и работа равна нулю. А если сила направлена против движения, она мешает, и её работа отрицательная.
Для тех, кто знаком с понятием «скалярное произведение», также можно использовать формулу:
$A = (\vec{F}; \vec{S})$
В системе СИ работа измеряется в джоулях [Дж].[i]

Подготовка к экзаменам в 100балльном репетиторе

Пример вычисления работы сил

Рассмотрим вычисление работы на примере. На брусок, движущийся прямолинейно по горизонтальной шероховатой плоскости вдоль оси OX, действуют четыре силы:

реакция опоры $\vec{N}$ ,
сила тяжести $m \vec{g}$ ,
приложенная сила $\vec{F}$ ,
сила трения ${\vec{F}}_{тр}$ .[i]

Брусок движущийся по шероховатой плоскости

Чтобы найти работу силы $\vec{F}$ , введём угол $α$ :[i]

Брусок движущийся по шероховатой плоскости 2

Следовательно, по определению работы:
$A_{F} = F \cdot S \cdot \cos α$
Работы силы тяжести и силы реакции опоры будут равны нулю, так как угол между этими силами и перемещением тела равен 90°, а значит косинус угла равен нулю.
$A_{m g} = m g \cdot S \cdot \cos 90^{\circ} = 0$
$A_{N} = N \cdot S \cdot \cos 90^{\circ} = 0$
Найдём работу силы трения. Так как она направлена в сторону, противоположную перемещению бруска, то угол между ними равен 180°.
$A_{F_{тр}} = F_{тр} \cdot S \cdot \cos 180^{\circ} = - F_{тр} \cdot S$ [i]

Работа переменной силы

В случае переменной силы формула $A = F \cdot S \cdot \cos α$ выполняется только для малых промежутков времени. Это связано с тем, что за малое время изменением силы можно пренебречь.
Нарисуем график зависимости проекции силы от проекции перемещения на горизонтальную ось. Тогда работа силы за короткий промежуток равна площади прямоугольника:[i]

Чтобы найти полную работу, нужно просуммировать значения работы на каждом участке. Таким образом, полная работа будет численно равна площади под графиком.[i]

Пример: сила упругости

Рассмотрим график зависимости силы упругости от удлинения пружины.[i]

График зависимости силы упругости от удлинения пружины

В этом случае сила упругости будет равна силе $\vec{F}$ , растягивающей пружину. Тогда работа силы F будет равна площади фигуры, то есть площади прямоугольного треугольника.
$A_{F} = \frac{1}{2} k x_{0} \cdot x_{0} = \frac{k x_{0}^{2}}{2}$ [i]

Потенциальные силы

Рассмотрим тело, которое движется из точки B в точку С. Оно может попасть в точку С двумя способами, изображёнными на рисунке:[i]

Работа силы тяжести при перемещении из точки B в точку C способом 1:
$A_{1} = m g \cdot h \cdot \cos 0^{\circ} = m g h$
Работа силы тяжести при перемещении из точки B в точку C способом 2 будет равна сумме работ на каждом из участков.
$A_{2} = m g \cdot S \cdot \cos (90^{\circ} - α) + m g \cdot L \cdot \cos 90^{\circ} = m g \cdot S \cdot \sin α = m g h$
Таким образом, работа сила тяжести в обоих случаях будет одинакова:
$A_{1} = A_{2}$
Выходит, что работа этой силы не зависит от выбранной траектории. Такие силы называются консервативными.
Сила называется потенциальной (консервативной), если её работа зависит только от начального и конечного положения тела, и не зависит от траектории движения. В механике всего три потенциальных силы: сила тяжести, сила тяготения и сила упругости.[i]

Примеры решения задач

Задание 1
Тело массой m = 1 кг переместилось на расстояние S = 1 м по прямой на горизонтальном столе под действием силы F = 10 Н, направленной к горизонту под углом $α = 30^{\circ}$ . Коэффициент трения равен $μ = 0, 1$ . Чему равна работа силы тяжести тела на этом пути? Ответ дайте в Дж. [i]

Так сила тяжести направлена вертикально вниз, а перемещение горизонтально, угол между ними 90 градусов, следовательно работа силы тяжести равна нулю.
$A_{т} = m g S \cos 90 = m g S \cdot 0 = 0$ Дж
Ответ: 0 Дж.[i]

Задание 2
Брусок массой 200 г равномерно переместили на расстояние 50 см с помощью динамометра, который расположен под углом 30° к горизонту. Чему равна работа равнодействующей всех сил? Ответ дайте в Дж.
Дано:
$m = 0, 2$ кг
$S = 0, 5$ м
$α = 30^{\circ}$
$A$ — ? [i]

Так как скорость постоянна, ускорения нет.
$v = c o n s t$ , $a = 0$
Тогда равнодействующая всех сил равна:
$F_{всех сил} = m a = 0$
Так как сила равна нулю, то работа также равна нулю:
$A_{всех сил} = 0$
Ответ: 0 Дж.[i]

Итог

Работа силы определяется не только величиной силы и пройденным расстоянием, но и углом между направлением силы и перемещения. Силы, перпендикулярные движению, не совершают работы, а силы, направленные против движения, совершают отрицательную работу. В случае переменной силы работа определяется как площадь под графиком зависимости силы от перемещения. Для консервативных сил работа не зависит от траектории и определяется только начальным и конечным положением тела. [i]