Механическая работа

В физике слово «работа» означает не совсем то, что в обычной жизни. Можно, например, держать тяжёлый рюкзак и сильно устать — но с точки зрения физики работа при этом равна нулю. А можно легко толкнуть предмет, и работа уже будет совершена. Чтобы не путаться, важно разобраться, что именно физики называют работой силы.

Работой постоянной силы при прямолинейном движении называется скалярная физическая величина, численно равная произведению модуля силы, модуля перемещения и косинуса угла между ними.

$A = |\vec{F}| \cdot |\vec{S}| \cdot \cos\alpha$

Проще говоря, важно не только то, насколько велика сила и какое расстояние прошло тело, но и то, в каком направлении действует сила относительно движения. Если сила направлена туда же, куда движется тело, она «помогает» движению, и работа получается положительной. Если сила направлена перпендикулярно, она вообще не влияет на движение в этом направлении — и работа равна нулю. А если сила направлена против движения, она мешает, и её работа отрицательная.

Для тех, кто знаком с понятием «скалярное произведение», также можно использовать формулу:

$A = (\vec{F}; \vec{S})$

В системе СИ работа измеряется в джоулях [Дж].

Рассмотрим вычисление работы на примере. На брусок, движущийся прямолинейно по горизонтальной шероховатой плоскости вдоль оси OX, действуют четыре силы:

• реакция опоры $\vec{N}$,

• сила тяжести $m\vec{g}$,

• приложенная сила $\vec{F}$,

• сила трения $\vec{F}_{\text{тр}}$.

Чтобы найти работу силы $\vec{F}$ , введём угол $\alpha$:

Следовательно, по определению работы:

$A_F = F \cdot S \cdot \cos\alpha$

Работы силы тяжести и силы реакции опоры будут равны нулю, так как угол между этими силами и перемещением тела равен 90°, а значит косинус угла равен нулю.

$A_{mg} = mg \cdot S \cdot \cos 90^\circ = 0$

$A_N = N \cdot S \cdot \cos 90^\circ = 0$

Найдём работу силы трения. Так как она направлена в сторону, противоположную перемещению бруска, то угол между ними равен 180°.

$A_{F_{\text{тр}}} = F_{\text{тр}} \cdot S \cdot \cos 180^\circ = −F_{\text{тр}} \cdot S$

В случае переменной силы формула $A = F \cdot S \cdot \cos\alpha$ выполняется только для малых промежутков времени. Это связано с тем, что за малое время изменением силы можно пренебречь.

Нарисуем график зависимости проекции силы от проекции перемещения на горизонтальную ось. Тогда работа силы за короткий промежуток равна площади прямоугольника:

Чтобы найти полную работу, нужно просуммировать значения работы на каждом участке. Таким образом, полная работа будет численно равна площади под графиком.

Рассмотрим график зависимости силы упругости от удлинения пружины.

В этом случае сила упругости будет равна силе $\vec{F}$, растягивающей пружину. Тогда работа силы F будет равна площади фигуры, то есть площади прямоугольного треугольника.

$A_F = \frac{1}{2} k x_0 \cdot x_0 = \frac{kx_0^2}{2}$

Рассмотрим тело, которое движется из точки B в точку С. Оно может попасть в точку С двумя способами, изображёнными на рисунке:

Работа силы тяжести при перемещении из точки B в точку C способом 1:

$A_1 = mg \cdot h \cdot \cos 0^\circ = mgh$

Работа силы тяжести при перемещении из точки B в точку C способом 2 будет равна сумме работ на каждом из участков.

$A_2 = mg \cdot S \cdot \cos(90^\circ − \alpha) + mg \cdot L \cdot \cos 90^\circ = mg \cdot S \cdot \sin \alpha = mgh$

Таким образом, работа сила тяжести в обоих случаях будет одинакова:

$A_1 = A_2$

Выходит, что работа этой силы не зависит от выбранной траектории. Такие силы называются консервативными.

Сила называется потенциальной (консервативной), если её работа зависит только от начального и конечного положения тела, и не зависит от траектории движения. В механике всего три потенциальных силы: сила тяжести, сила тяготения и сила упругости.

Задание 1

Тело массой m = 1 кг переместилось на расстояние S = 1 м по прямой на горизонтальном столе под действием силы F = 10 Н, направленной к горизонту под углом $\alpha = 30^\circ$. Коэффициент трения равен $\mu = 0,1$. Чему равна работа силы тяжести тела на этом пути? Ответ дайте в Дж.

Задание 2

Брусок массой 200 г равномерно переместили на расстояние 50 см с помощью динамометра, который расположен под углом 30° к горизонту. Чему равна работа равнодействующей всех сил? Ответ дайте в Дж.

Дано:

$m = 0,2$ кг
$S = 0,5$ м
$\alpha = 30^\circ$
$A$ — ?

Работа силы определяется не только величиной силы и пройденным расстоянием, но и углом между направлением силы и перемещения. Силы, перпендикулярные движению, не совершают работы, а силы, направленные против движения, совершают отрицательную работу. В случае переменной силы работа определяется как площадь под графиком зависимости силы от перемещения. Для консервативных сил работа не зависит от траектории и определяется только начальным и конечным положением тела.