Работа со степенями

В задачах по физике часто встречаются очень большие и очень малые числа. Например, скорость света равна примерно 300 000 000 м/с, а масса электрона — 0,00000000000000000000000000000091 кг. Такие записи неудобны: легко ошибиться в количестве нулей и трудно быстро проверить вычисления.

Поэтому используют стандартный вид — запись через степень числа 10. Скорость света записывают как $3 \cdot 10^8$ м/с, а массу электрона — как $9{,}1 \cdot 10^{−31}$ кг. Это делает вычисления компактнее и понятнее.

Степени бывают и в самих формулах. В законах Кулона и всемирного тяготения фигурирует квадрат расстояния ($r^2$), энергия фотона зависит от величины $\frac{1}{\lambda}$, а интенсивность излучения убывает как $\frac{1}{r^2}$. Без уверенной работы со степенями корректно решать задачи ЕГЭ практически невозможно.

Правила работы со степенями одинаковы для любых чисел. В физике чаще всего используют основание 10.

1. Умножение степеней с одинаковым основанием.
   При умножении показатели степени складываются.
   Формула: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
   Пример: $10^5 \cdot 10^7 = 10^{12}$. В физике это встречается при умножении больших чисел, например при вычислении полного заряда или энергии.

2. Деление степеней с одинаковым основанием.
   При делении из показателя числителя вычитается показатель знаменателя.
   Формула: $\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.
   Пример: $\dfrac{10^8}{10^3} = 10^5$. Так мы переводим, например, метры в километры или секунды в миллисекунды.

3. Возведение степени в степень.
   Показатели перемножаются.
   Формула: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
   Пример: $(10^3)^2 = 10^6$. Это ключевое правило при переводе квадратных и кубических единиц: $1 \text{ км}^2 = (10^3 \text{ м})^2 = 10^6 \text{ м}^2$.

4. Степень с нулевым показателем.
   Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице.
   Формула: $a^0 = 1$.
   Пример: $\frac{10^5}{10^5} = 10^0 = 1$. Это важно при упрощении формул, когда степени сокращаются полностью.

5. Отрицательная степень.
   Отрицательный показатель означает единицу, делённую на число в положительной степени.
   Формула: $a^{−n} = \dfrac{1}{a^n}$.
   Пример: $10^{−6} = \dfrac{1}{10^6} = 0{,}000001$. Так работают приставки микро-, нано-, пико-.

6. Дробный показатель (корень).
   Корень $n$-й степени из числа $a$ можно записать как $a$ в степени $\frac{1}{n}$.
   Формула: $\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}$.
   Пример: $\sqrt{10^6} = (10^6)^{\frac{1}{2}} = 10^3$. Это встречается при извлечении корня из квадрата скорости или из квадрата расстояния.

1. Умножение величин с разными степенями.
   Пример: найти заряд, прошедший через проводник, если сила тока $I = 2 \cdot 10^{-3}$ А, а время $t = 5 \cdot 10^2$ с.
   Решение: $q = I \cdot t = (2 \cdot 10^{-3}) \cdot (5 \cdot 10^2) = (2 \cdot 5) \cdot (10^{-3} \cdot 10^2) = 10 \cdot 10^{-1} = 1$ Кл.
   Важно: сначала перемножаются мантиссы ($2 \cdot 5 = 10$), затем складываются показатели ($−3 + 2 = -1$). Получается: $10 \cdot 10^{-1} = 10^0 = 1$.
   

2. Деление величин.
   Пример: найти сопротивление, если напряжение $U = 220$ В, а ток $I = 0{,}5 \text{ А} = 5 \cdot 10^{-1}$ А.
   Решение: $R = \dfrac{U}{I} = \dfrac{220}{5 \cdot 10^{-1}} = \dfrac{220 \cdot 10^1}{5} = 44 \cdot 10^1 = 440$ Ом.
   Или через степени: $220 = 2{,}2 \cdot 10^2$, тогда $\dfrac{2{,}2 \cdot 10^2}{5 \cdot 10^{-1}} = \dfrac{2{,}2}{5} \cdot 10^{2-(-1)} = 0{,}44 \cdot 10^3 = 4{,}4 \cdot 10^2 = 440$ Ом.
   

3. Возведение в квадрат и извлечение корня.
   Пример: площадь круга $S = 3{,}14 \cdot 10^{-4}$ м². Найти радиус.
   Решение: $S = \pi R^2 \;\Rightarrow\; R = \sqrt{\dfrac{S}{\pi}} = \sqrt{\dfrac{3{,}14 \cdot 10^{-4}}{3{,}14}} = \sqrt{10^{-4}} = (10^{-4})^{\frac{1}{2}} = 10^{-2} \text{ м} = 0{,}01$ м.
   Ключевой момент: корень из $10^{-4}$ равен $10^{-2}$, потому что $\frac{-4}{2} = -2$.
   

4. Сложение и вычитание.
   Складывать и вычитать можно только числа с одинаковым показателем степени. Если показатели разные, нужно сначала привести их к одному.
   Пример: $3 \cdot 10^5 + 2 \cdot 10^4$.
   Приводим к общему показателю $10^5 \text{: } 2 \cdot 10^4 = 0{,}2 \cdot 10^5$.
   Тогда $3 \cdot 10^5 + 0{,}2 \cdot 10^5 = 3{,}2 \cdot 10^5$.
   Никогда не складывай мантиссы, не выровняв показатели! Например, запись $3 \cdot 10^5 + 2 \cdot 10^4 = 5 \cdot 10^9$ неверна: результат $5 \cdot 10^9$ соответствует миллиардам, а не сотням тысяч.
   Сначала приведи числа к одинаковой степени:
   $3 \cdot 10^5 + 0{,}2 \cdot 10^5 = 3{,}2 \cdot 10^5$.
   

Каждая приставка системы СИ соответствует определённой степени десяти. Запомнить их легче, если воспринимать приставку как замену степени:

• кило- $= 10^3$ (тысяча);
• мега- $= 10^6$ (миллион);
• гига- $= 10^9$ (миллиард);
• тера- $= 10^{12}$ (триллион);
• милли- $= 10^{-3}$ (одна тысячная);
• микро- $= 10^{-6}$ (одна миллионная);
• нано- $= 10^{-9}$ (одна миллиардная);
• пико- $= 10^{-12}$ (одна триллионная).

При переводе из одной единицы в другую достаточно заменить приставку на соответствующую степень. Например, $5 \text{ нФ} = 5 \cdot 10^{-9}$ Ф; $2 \text{ км} = 2 \cdot 10^3$ м.

1. Сложение показателей при умножении чисел с разными основаниями.
   Нельзя: $2^3 \cdot 3^2 = 6^5$. Можно перемножать только степени с одинаковыми основаниями.
   

2. Путаница с отрицательными степенями при делении.
   Запомни: $\dfrac{10^{-2}}{10^{-5}} = 10^{-2-(-5)} = 10^{-2+5} = 10^3$. Минус на минус даёт плюс.
   

3. Неправильное возведение в квадрат произведения.
   $(2 \cdot 10^3)^2 = 4 \cdot 10^6$, а не $2 \cdot 10^6$ и не $4 \cdot 10^9$. В квадрат возводится и число, и степень: $2^2 = 4$, $(10^3)^2 = 10^6$.
   

4. Потеря единиц измерения при работе со степенями.
   Всегда помни, что степень относится не только к числу, но и к единице измерения: $(10 \text{ см})^2 = 100 \text{ см}^2 = 0{,}01 \text{ м}^2$, а не $0{,}01 \text{ см}^2$.
   

5. Сложение чисел с разными показателями без приведения.
   $3 \cdot 10^2 + 4 \cdot 10^3 = 3 \cdot 10^2 + 40 \cdot 10^2 = 43 \cdot 10^2 = 4{,}3 \cdot 10^3$. Нельзя просто сложить $3 + 4$ и получить $7 \cdot 10^5$.
   

После изучения этой темы ты сможешь уверенно работать со степенями в задачах по физике и математике. Теперь ты умеешь:

• выполнять умножение и деление степеней с одинаковым основанием;
• работать с отрицательными и дробными показателями;
• переводить величины через приставки СИ;
• приводить числа к общему показателю при сложении и вычитании.

Этот навык напрямую влияет на результат ЕГЭ: он используется почти в каждой задаче с вычислениями. Чтобы закрепить материал, реши 8–10 задач с числами в стандартном виде и отдельно потренируй перевод единиц.