Функции

Функцией называется правило, показывающее взаимосвязь между некоторыми величинами. Например, функция $y = f(x)$ является правилом, по которому $y$ зависит от $x$.

Область определения функции — это все значения аргумента $(x)$, при которых функция имеет смысл. В физике область определения часто ограничена условиями задачи.

Область значений функции — это все значения функции $(y)$, которые она может принимать. Например, для функции $y = \sin x$ область значений — отрезок $[-1; 1]$.

График функции — это линия на координатной плоскости, которая показывает, как значение функции $y$ меняется при изменении аргумента $x$. Умение читать графики — одно из самых важных навыков для ЕГЭ по физике.

Функция $y = kx$ — это прямая, проходящая через начало координат. Коэффициент $k$ определяет угол наклона данной прямой:

где $\alpha$ — угол между прямой и положительным направлением оси $OX$.

Если $k > 0$, функция возрастает (чем больше $x$, тем больше $y$).

Если $k < 0$, функция убывает (чем больше $x$, тем меньше $y$).

Чем больше $|k|$, тем круче прямая.

Общее уравнение прямой: $y = kx + b$.

Коэффициент $b$ отвечает за сдвиг прямой по вертикали.

При $b > 0$ график сдвигается вверх.

При $b < 0$ — вниз.

При $b = 0$ прямая проходит через начало координат.

Функция $y = x^2$ — это парабола, ветви которой направлены вверх. График проходит через начало координат, симметричен относительно оси $OY$. Функция убывает на интервале $(-\infty; 0)$ и возрастает на интервале $(0; +\infty)$. В точке $x = 0$ достигается минимум $(y = 0)$.

Коэффициент $a$ перед $x^2$ определяет «ширину» параболы. С ростом абсолютного значения $a$ парабола сужается (становится круче). С уменьшением $|a|$ парабола расширяется (становится более пологой).

Если $a$ имеет отрицательное значение, ветви параболы направлены вниз, а в точке $x = 0$ достигается максимум.

Как и прямая, парабола может иметь сдвиг вдоль вертикальной оси.

Общее уравнение параболы имеет вид:

В зависимости от знака $a$ ветви направлены вверх $(a > 0)$ или вниз $(a < 0)$.

Вершина параболы является наивысшей или низшей точкой функции. Координата вершины по горизонтали находится по формуле:

Координата вершины по вертикали:

Точки пересечения параболы с осью $OX$ находятся из квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.

Функция $y = \dfrac{1}{x}$ — это гипербола. Она имеет две ветви, расположенные в первой и третьей четвертях координатной плоскости. Функция определена при всех $x \neq 0$.

Каждая гипербола имеет асимптоты — прямые, к которым график стремится, но никогда их не достигает.

Для $y = \dfrac{1}{x}$ асимптотами являются прямые $x = 0$ (ось OY) и $y = 0$ (ось OX).

Общий вид гиперболы: $y = \dfrac{1}{x}$.

При $k > 0$ ветви находятся в I и III четвертях.

При $k < 0$ ветви находятся во II и IV четвертях.

При увеличении $|k|$ график «отодвигается» от осей.

Функция $y = \sqrt{x}$ определена только при $x \geq 0$. График этой функции начинается в точке $(0; 0)$ и возрастает, но всё медленнее. С ростом $x$ функция растёт, но угол наклона касательной уменьшается.

Функция $y = |x|$ определена при всех $x$. При $x \geq 0$, $|x| = x$. При $x < 0$, $|x| = -x$. График имеет V-образную форму, симметричен относительно оси $OY$. В точке $x = 0$ функция имеет излом (производная не существует).

Для лучшего понимания функции модуля рассмотрим прямую:

Построим функцию модуля $y = |-x + 3|$. Модуль не влияет на положительную часть прямой и переворачивает её отрицательную часть относительно оси $X$. То есть там, где выражение $-x + 3$ было отрицательным, график отражается вверх.

Показательная функция имеет вид $y = a^x$, где $a > 0$ и $a \neq 1$.

При $a > 1$ функция возрастает.

При $0 < a < 1$ функция убывает.

При любом $a$ график проходит через точку $(0; 1)$, так как $a^0 = 1$.

При $x \to +\infty$, если $a > 1$, $y \to +\infty$. Если $0 < a < 1$, при $x \to +\infty$, $y \to 0$. При $x \to -\infty$ всё наоборот.

График функции y = sin x

Основные характеристики графика y = sin x:

• Область определения: все действительные числа $(x \in \mathbb{R})$.
• Область значений: от -1 до 1 $(y \in [-1; 1])$.
• Период: $T = 2\pi$ (через каждые $2\pi$ график полностью повторяется).
• Нули функции: $\sin x = 0$ при $x = \pi \cdot n$, где $n$ — целое число.
• Максимумы: $\sin x = 1$ при $x = \dfrac{\pi}{2} + 2\pi \cdot n$.
• Минимумы: $\sin x = -1$ при $x = -\dfrac{\pi}{2} + 2\pi \cdot n$.
• Функция возрастает на интервалах $\left(-\dfrac{\pi}{2} + 2\pi \cdot n; \dfrac{\pi}{2} + 2\pi \cdot n\right)$.
• Функция убывает на интервалах $\left(\dfrac{\pi}{2} + 2\pi \cdot n; \dfrac{3\pi}{2} + 2\pi \cdot n\right)$.

График функции y = \cos x:

Основные характеристики графика $y = \cos x$:

• Область определения: все действительные числа $(x \in \mathbb{R})$.
• Область значений: от -1 до 1 $(y \in [-1; 1])$.
• Период: $T = 2\pi$.
• Нули функции: $\cos x = 0$ при $x = \dfrac{\pi}{2} + \pi \cdot n$.
• Максимумы: $\cos x = 1$ при $x = 2\pi \cdot n$.
• Минимумы: $\cos x = -1$ при $x = \pi + 2\pi \cdot n$.
• Функция убывает на интервалах $(0 + 2\pi \cdot n; \pi + 2\pi \cdot n)$.
• Функция возрастает на интервалах $(\pi + 2\pi \cdot n; 2\pi + 2\pi \cdot n)$.

Очень часто на ЕГЭ по физике появляются графики модулей или квадратов тригонометрических функций. Важно уметь их правильно строить и определять.

Квадрат тригонометрической функции

При возведении в квадрат часть функции, которая находится ниже оси абсцисс, отображается в верхнюю полуплоскость. При подходе к оси $Ox$ функция ведёт себя плавно, без острых углов.

Модуль тригонометрической функции

Если взять тригонометрическую функцию под знак модуля, её часть, расположенная ниже оси абсцисс, отражается вверх — в верхнюю полуплоскость. Важно, что вблизи оси $Ox$ такая функция ведёт себя «резко»: график образует изломы.

В этой статье собран основной минимум по функциям, который нужен для ЕГЭ по физике: линейные зависимости, парабола, гипербола, корень, модуль, показательная и тригонометрические функции.

Понимание графиков и их свойств позволяет быстрее разбираться в задачах, правильно интерпретировать зависимости и уверенно решать задания экзамена.