Механические колебания окружают нас повсюду: от качания маятника в часах до вибрации мостов. Поэтому понимание того, как они устроены, поможет понять устройство окружающего мира. Чтобы уверенно решать задачи, необходимо разобраться с основными характеристиками колебаний.
Виды колебаний, формулы и графики
Механические колебания — это физические процессы, точно или приблизительно повторяющиеся через одинаковые промежутки времени.
Вынужденные колебания — колебания, происходящие под действием внешней периодической силы.
Свободные колебания — колебания, происходящие под действием внутренней силы в системе, выведенной из положения равновесия.
Затухающие колебания — это колебания, амплитуда которых уменьшается с течением времени под действием сил сопротивления.
Период колебаний ($T$) — наименьший промежуток времени, за который тело совершает одно полное колебание, то есть возвращается в своё первоначальное положение с исходным значением скорости. Период измеряется в секундах [с].
$T = \frac{t}{N}$
Частота колебаний ($\nu$) — количество колебаний за единицу времени (секунду), частота измеряется в герцах [Гц] и определяется формулой:
$\nu = \frac{N}{t}$
Таким образом, период и частота колебаний связаны между собой формулой:
$T = \frac{1}{\nu}$
Циклическая частота ($\omega$) — скорость изменения аргумента тригонометрической функции:
$\omega = \frac{2\pi}{T}$
Амплитуда колебаний ($A$ или $x_0$) — максимальное отклонение колеблющейся величины от положения равновесия. Размерность амплитуды зависит от размерности определяемой физической величины.
Гармонические колебания — колебания, в которых изменение физической величины происходит по синусоидальному или косинусоидальному закону.
Пример уравнения, описывающего гармонические колебания:
$x = x_0 \sin(\omega t)$
Где:
$x_0$ — амплитуда колебаний;
$\omega$ — циклическая частота;
$t$ — время.
Часто при решении задач на механические колебания используются производные:
$(\cos(t))' = -\sin(t)$
$(\sin(t))' = \cos(t)$
$(\sin(t^2))' = \cos(t^2) \cdot 2t = 2t\cos(t^2)$
$(5\sin(7t+3))' = 5\cos(7t+3) \cdot 7 = 35\cos(7t+3)$
Производная от координаты $x$ по времени равна проекции скорости на ось $Ox$:
$x' = v_x = \omega x_0\cos(\omega t)$
С другой стороны, уравнение скорости в гармонических колебаниях выглядит следующим образом:
$v = v_m\cos(\omega t)$
Где $v_m$ — максимальное значение скорости.
Сопоставив две формулы, получим:
$v_m = \omega x_0$
Часто в формулах, например в кодификаторе ЕГЭ по физике, в качестве обозначения амплитуды используют букву $A$, тогда формула примет следующий вид:
$v_m = \omega A$
Рассмотрим проекцию скорости на горизонтальную ось $Ox$, производная от $v_x$ по времени равна ускорению:
$v_x' = a_x = \left(\omega x_0 \cos(\omega t)\right)' = \omega x_0 \cdot \left(-\sin(\omega t)\right) \cdot \omega = -\omega^2 x_0\sin(\omega t)$
Обратим внимание на полученное уравнение ускорения, в нём содержится $x_0\sin(\omega t)$, равное координате $x$, подставим его:
$a_x = -\omega^2 x$
Выполним преобразования и получим уравнение гармонических колебаний:
$a_x + \omega^2 x = 0$
Максимальный модуль ускорения можно найти по формулам:
$a_m = \omega^2 A$
Все вышеперечисленные формулы не нужно выводить при решении задач сложной части на ЕГЭ.
Практикум: решение задач
Задание 1
Небольшое тело, подвешенное на нити, совершает гармонические колебания. На рисунке представлена зависимость координаты $x$ тела от времени $t$. Чему равен период колебаний тела? Ответ дайте в секундах
Период колебания равен времени, через которое тело возвращается в начальное состояние. По графику видим, что период колебаний равен 12 с.
Ответ: 12 с.
Задание 2
Шарик подвешен к пружине. Пружину отклоняют от положения равновесия, после чего система начинает совершать гармонические колебания. Скорость шарика изменяется согласно уравнению $v = 5\sin(2\pi t)$ (все величины выражены в СИ). Определите максимальную скорость движения шарика. Ответ дайте в метрах в секунду.
Формула скорости в колебаниях в изначальном виде выглядит таким образом:
$v = v_{max}\sin(\omega t)$
Из условия:
$v = 5\sin(2\pi t)$
Сравнив одно уравнение с другим, понимаем, что $v_{max} = 5$ м/с.
Ответ: 5 м/с.
Задание 3
Груз математического маятника совершает гармонические колебания, описываемые уравнением $x = A\sin(Bt)$. Найдите амплитуду колебаний груза, если известно, что $A = 0{,}5$ м, $B = 0{,}5 \text{ с}^{-1}$. Ответ выразите в метрах.
Амплитуда — величина, которая в уравнении колебаний стоит перед $\sin(\omega t)$. Амплитуда колебаний дана в условии, она равна 0,5 м.
Ответ: 0,5 м.
Задание 4
Между точками 1 и 2 математический маятник совершает гармонические колебания. Графики А и Б представляют зависимости от времени $t$ физических величин, характеризующих колебания. В начальный момент времени маятник находился в положении 2. Установите соответствие между графиками и физическими величинами, зависимости которых от времени эти графики могут представлять. К каждой позиции второго столбца подберите соответствующую позицию первого и запишите в таблицу выбранные цифры под соответствующими буквами.
ФИЗИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ
- Кинетическая энергия маятника.
- Проекция скорости маятника на ось $Ox$.
- Потенциальная энергия маятника относительно поверхности Земли.
- Проекция ускорения маятника на ось $Ox$.
ГРАФИКИ:
| А | Б |
|---|---|
В начальный момент времени $t = 0$: $x = A$
Из этого делаем вывод, что график «А» — не график координаты, это график скорости.
$x = x_0\cos(\omega t) \implies v_x = x’ = -x_0 \omega \sin(\omega t)$
Второй график — график энергии, которая в начальный момент времени равна нулю. $E_k = \dfrac{mv^2}{2} = 0$, так как скорость в положении 2 равна нулю.
Следовательно, график Б — график кинетической энергии.
Ответ: 21.
Заключение
Теперь ты знаешь основные виды колебаний, их характеристики (период, частоту, амплитуду) и то, как связаны координата, скорость и ускорение в гармонических колебаниях. Ты умеешь читать графики, определять по уравнению скорости максимальную скорость и амплитуду, а также сопоставлять графики с разными физическими величинами. Этого достаточно, чтобы решать задачи по механическим колебаниям на ЕГЭ.
Авторы:
Саня Эбонит, преподаватель «100балльного репетитора» по физике ЕГЭ;
Кир Синюткин, методист «100балльного репетитора» по физике ЕГЭ
