Горизонтальный бросок — одна из самых частых тем на ЕГЭ и ОГЭ по физике. Такие задачи часто кажутся сложными, потому что в них сразу несколько неизвестных величин. Но основная идея здесь очень простая: движение по горизонтали и по вертикали рассматривается отдельно.
В этой статье разберём типовую задачу на горизонтальный бросок с высоты $h$: найдём время падения, дальность полёта, скорость перед ударом и угол падения.
Свободное падение и баллистика
Свободное падение — это равноускоренное движение тела в поле силы тяжести, при котором внешние силы пренебрежимо малы или отсутствуют.
Баллистика — раздел механики, который изучает движение тел в поле силы тяжести.
Ускорение свободного падения обозначается буквой $g$. Оно примерно равно 9,80665 м/с², но на ЕГЭ в справочных материалах используется округлённое значение: $g = 10$ м/с².
Разбор задачи
Тело брошено горизонтально с высоты $h$ с начальной скоростью $v_0$. Ускорение свободного падения — $g$. Пренебрегая сопротивлением воздуха, нужно найти время падения, дальность полёта, скорость перед ударом и угол падения.
Из условия задачи следует, что необходимо найти четыре величины: время падения $t_\text{В}$, дальность полёта $l$, угол, под которым тело ударяется о землю, и скорость падения перед ударом $v_\text{В}$.
Распишем законы движения тела по обеим осям:
$x = x_0 + v_{0x}t + \frac{a_x t^2}{2}$
$v_x = v_{0x} + a_x t$
$y = y_0 + v_{0y}t + \frac{a_y t^2}{2}$
$v_y = v_{0y} + a_y t$
Ось OX
Начальная координата по горизонтали и проекция ускорения тела на ось $OX$ равны нулю.
Проекция скорости тела на ось $OX$ равна модулю начальной скорости, так как тело было брошено горизонтально.
Ось OY
Начальная координата по оси $OY$ равна высоте, с которой тело было брошено.
Проекция начальной скорости тела на ось $OY$ равна нулю, так как тело было брошено горизонтально.
Проекция ускорения тела на ось $Y$ равна $-g$, так как ось направлена вертикально вверх, а ускорение — вниз.
Учитывая эти данные, преобразуем записанные выше уравнения и получим:
$x = v_0 t$
$v_x = v_0$
$y = h - \frac{g t^2}{2}$
$v_y = -gt$
Время падения
В точке В координата $y$ равна нулю, поэтому:
$0 = h - \frac{g t_\text{В}^2}{2}$
Из этой формулы выразим искомое $t_\text{В}$:
$t_\text{В} = \sqrt{\frac{2h}{g}}$
Дальность полёта
Чтобы найти дальность полёта, найденное время подставим в уравнение координаты $x$, учитывая, что она в этот момент совпадает с дальностью полёта:
$x_\text{В} = l$
$l = v_0 t_\text{В}$
$l = v_0\sqrt{\frac{2h}{g}}$
Скорость перед ударом
Найдём скорость тела непосредственно перед ударом о землю, то есть в точке В. Общая скорость тела складывается из двух проекций скоростей на ось $X$ и $Y$ по теореме Пифагора:
$v_\text{В}^2 = v_{\text{В}x}^2 + v_{\text{В}y}^2$
$v_{\text{В}x}$ постоянная и равна начальной скорости $v_0$.
$v_{\text{В}y}$ найдём через уравнение проекции скорости на ось $OY$:
$v_{\text{В}y} = -g t_\text{В}$
Подставим $t_\text{В}$:
$v_{\text{В}y} = -g\sqrt{\frac{2h}{g}} = -\sqrt{2gh}$
Подставим найденные значения проекций скоростей:
$v_\text{В}^2 = v_0^2 + \left(-\sqrt{2gh}\right)^2$
$v_\text{В}^2 = v_0^2 + 2gh$
$v_\text{В} = \sqrt{v_0^2 + 2gh}$
Угол падения
Угол $\alpha$ — это угол между скоростью тела в момент падения и проекцией этой скорости на ось $X$:
Таким образом, тангенс угла равен отношению модуля противолежащего катета ($v_{\text{В}y}$) к прилежащему катету ($v_{\text{В}x}$):
$\operatorname{tg}\alpha = \frac{|v_{\text{В}y}|}{v_{\text{В}x}}$
$\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sqrt{2gh}}{v_0}$
Так как необходимо найти угол, то возьмём арктангенс полученного выражения:
$\alpha = \operatorname{arctg}\frac{\sqrt{2gh}}{v_0}$
Главное, что нужно запомнить
В задачах на горизонтальный бросок движение всегда разбивают на два независимых движения:
- по горизонтали тело движется равномерно;
- по вертикали — равноускоренно под действием силы тяжести.
Именно из этой идеи выводятся все основные формулы для горизонтального броска.
Авторы:
Саня Эбонит, преподаватель «100балльного репетитора» по физике ЕГЭ;
Кир Синюткин, методист «100балльного репетитора» по физике ЕГЭ
