Закон всемирного тяготения

Гравитация — это сила, которая удерживает планеты на орбитах и заставляет тела притягиваться друг к другу. В этой статье разберём закон всемирного тяготения, выведем первую и вторую космические скорости и решим типовые задачи ЕГЭ. [i]

Основные формулы

Два тела, обладающие массами $m_{1}$ и $m_{2}$ , центры масс которых находятся друг от друга на расстоянии $R$ , притягиваются друг к другу с силой $F$ , которая вычисляется по формуле: [i]

F = G \frac{m_{1} \cdot m_{2}}{R^{2}}

В этой формуле $G$ — гравитационная постоянная, которая является одной из фундаментальных констант в нашей Вселенной. Она одинакова на любых планетах, во всех скоплениях и галактиках. Значение гравитационной постоянной дано в справочных материалах для ЕГЭ и равно $6, 7 \cdot 10^{- 11} \cdot \frac{Н \cdot м_{2}}{{кг}^{2}}$ .
По третьему закону Ньютона сила, с которой тело 1 притягивается к телу 2, по модулю равна силе, с которой тело 2 притягивает тело 1: [i]

\vec{F_{1}} = - \vec{F_{2}}

Рассмотрим тело, которое находится на поверхности Земли: [i]

Так как тело находится на поверхности Земли, значение силы тяжести будет равно значению силы тяготения: [i]

F_{тяж} = G \frac{m M}{R^{2}}

m g = G \frac{m M}{R^{2}}

Выполним преобразования и получим формулу нахождения ускорения свободного падения на поверхности любой планеты: [i]

g = G \frac{M}{R^{2}}

Если тело находится на некоторой высоте над поверхностью планеты, то формула ускорения свободного падения в этой точке будет иметь вид: [i]

g = G \frac{M}{(R + h)^{2}}

Закон справедлив:
для материальных точек;
однородных шаров;
материальной точки и шара.
[i]

Первая и вторая космические скорости

Первая космическая скорость ( $v_{1}$ ) — это скорость, с которой должно двигаться тело, чтобы стать искусственным спутником планеты.
Запишем второй закон Ньютона: [i]

m a_{ц} = G \frac{m M}{R^{2}}

\frac{m v_{1}^{2}}{R} = G \frac{m M}{R^{2}}

v_{1} = \sqrt{G \frac{M}{R}}

Для Земли значение первой космической скорости равно 7,9 км/с.
Вторая космическая скорость ( $v_{2}$ ) — это скорость, которую нужно сообщить телу, чтобы оно покинуло орбиту планеты: [i]

v_{2} = \sqrt{2} v_{1}

Для Земли значение второй космической скорости составляет 11,2 км/с.
Формулы для ускорения свободного падения и космических скоростей отсутствуют в кодификаторе, поэтому на ЕГЭ их необходимо уметь выводить. [i]

Подготовка к экзаменам в 100балльном репетиторе

Задание 1

Два одинаковых маленьких шарика притягиваются друг к другу с силами, равными по модулю $F_{1} = 0, 16$ пН. Каким станет модуль сил их гравитационного взаимодействия $F_{2}$ , если расстояние между шариками уменьшить в 1,5 раза? Ответ дайте в пН. [i]

$F = G \frac{m_{1} m_{2}}{R^{2}}$
Так как $R$ уменьшается в 1,5 раза, то $R^{2}$ уменьшается в $1, 5^{2} = 2, 25$ раза.
Поскольку знаменатель дроби уменьшается в 2,25 раза, то вся дробь увеличивается в 2,25 раза.
Отсюда следует:
$F_{1} = 2, 25 \cdot F_{2} = 0, 16 \cdot 2, 25 = 0, 36 пН$
Ответ: 0,36 пН. [i]

Задание 2

Две планеты обращаются по круговым орбитам вокруг звезды. Известно, что радиус орбиты первой планеты равен $9 R$ , второй — $4 R$ , а отношение их масс $\frac{m_{1}}{m_{2}} = 3$ .
Во сколько раз скорость обращения второй планеты больше скорости обращения первой планеты? [i]

Пусть радиус первой планеты $R_{1} = 9 R$ , тогда радиус второй $R_{2} = 4 R$ .
По второму закону Ньютона:
$m a_{ц} = F$
$m \frac{v^{2}}{R} = G \frac{m M}{R^{2}}$
Следовательно, $v = \sqrt{\frac{G M}{R}}$ .
Найдём отношение $v_{2}$ к $v_{1}$ :
$\frac{v_{2}}{v_{1}} = \frac{\sqrt{\frac{G M}{R_{2}}}}{\sqrt{\frac{G M}{R_{1}}}} = \sqrt{\frac{R_{1}}{R_{2}}} = \sqrt{\frac{9 R}{4 R}} = \frac{3}{2} = 1, 5$
Ответ: 1,5. [i]

Задание 3

При переходе с одной круговой орбиты на другую скорость движения искусственного спутника Земли увеличивается. Определите, как изменятся частота обращения спутника вокруг Земли и сила притяжения, действующая на спутник со стороны Земли.
Для каждой величины подберите соответствующий характер изменения:
увеличится,
уменьшится,
не изменится.
[i]

Частота обращения	Сила притяжения со стороны Земли

Запишем второй закон Ньютона для спутника:
$F = m a_{ц}$
$F = G \frac{m M}{R^{2}}$
$a_{ц} = \frac{v^{2}}{R}$
Получим:
$m \frac{v^{2}}{R} = G \frac{m M}{R^{2}} ⟹ v^{2} = \frac{G M}{R}$
$v ↑ = \sqrt{\frac{G M}{R ↓}}$
По условию скорость увеличилась, а значит, радиус обращения уменьшился.
Сила притяжения со стороны Земли $F ↑ = G \frac{m M}{R^{2} ↓}$ , значит, она увеличилась.
Частота обращения $ν = \frac{1}{T}$ .
$T ↓ = \frac{l_{окр}}{v} = \frac{2 π R \sqrt{R ↓}}{\sqrt{G M}}$
Так как правая часть уравнения уменьшилась, период обращения тоже уменьшился, а значит, частота увеличилась: $ν ↑ = \frac{1}{T ↓}$ .
Ответ: 11. [i]