Гравитация — это сила, которая удерживает планеты на орбитах и заставляет тела притягиваться друг к другу. В этой статье разберём закон всемирного тяготения, выведем первую и вторую космические скорости и решим типовые задачи ЕГЭ.
Основные формулы
Два тела, обладающие массами $m_1$ и $m_2$, центры масс которых находятся друг от друга на расстоянии $R$, притягиваются друг к другу с силой $F$, которая вычисляется по формуле:
$F = G\frac{m_1 \cdot m_2}{R^2}$
В этой формуле $G$ — гравитационная постоянная, которая является одной из фундаментальных констант в нашей Вселенной. Она одинакова на любых планетах, во всех скоплениях и галактиках. Значение гравитационной постоянной дано в справочных материалах для ЕГЭ и равно $6{,}7 \cdot 10^{-11} \cdot \frac{Н·м_2}{\text{кг}^2}$ .
По третьему закону Ньютона сила, с которой тело 1 притягивается к телу 2, по модулю равна силе, с которой тело 2 притягивает тело 1:
$\vec{F_1} = -\vec{F_2}$
Рассмотрим тело, которое находится на поверхности Земли:
Так как тело находится на поверхности Земли, значение силы тяжести будет равно значению силы тяготения:
$F_\text{тяж} = G\frac{mM}{R^2}$
$mg = G\frac{mM}{R^2}$
Выполним преобразования и получим формулу нахождения ускорения свободного падения на поверхности любой планеты:
$g = G \frac{M}{R^2}$
Если тело находится на некоторой высоте над поверхностью планеты, то формула ускорения свободного падения в этой точке будет иметь вид:
$g =G \frac{M}{(R + h)^2}$
Закон справедлив:
- для материальных точек;
- однородных шаров;
- материальной точки и шара.
Важно! При решении задач следует помнить, что в законе всемирного тяготения расстояние берётся между центрами тел, а не от их поверхности.
Первая и вторая космические скорости
Первая космическая скорость ($v_1$) — это скорость, с которой должно двигаться тело, чтобы стать искусственным спутником планеты.
Запишем второй закон Ньютона:
$ma_\text{ц} = G\frac{mM}{R^2}$
$\frac{mv_1^2}{R} = G\frac{mM}{R^2}$
$v_1 = \sqrt{G \frac{M}{R}}$
Для Земли значение первой космической скорости равно 7,9 км/с.
Вторая космическая скорость ($v_2$) — это скорость, которую нужно сообщить телу, чтобы оно покинуло орбиту планеты:
$v_2 = \sqrt{2} v_1$
Для Земли значение второй космической скорости составляет 11,2 км/с.
Формулы для ускорения свободного падения и космических скоростей отсутствуют в кодификаторе, поэтому на ЕГЭ их необходимо уметь выводить.
Задание 1
Два одинаковых маленьких шарика притягиваются друг к другу с силами, равными по модулю $F_1 = 0{,}16$ пН. Каким станет модуль сил их гравитационного взаимодействия $F_2$, если расстояние между шариками уменьшить в 1,5 раза? Ответ дайте в пН.
$F = G\frac{m_1 m_2}{R^2}$
Так как $R$ уменьшается в 1,5 раза, то $R^2$ уменьшается в $1{,}5^2 = 2{,}25$ раза.
Поскольку знаменатель дроби уменьшается в 2,25 раза, то вся дробь увеличивается в 2,25 раза.
Отсюда следует:
$F_1 = 2{,}25 \cdot F_2 = 0{,}16 \cdot 2{,}25 = 0{,}36 \text{ пН}$
Ответ: 0,36 пН.
Задание 2
Две планеты обращаются по круговым орбитам вокруг звезды. Известно, что радиус орбиты первой планеты равен $9R$, второй — $4R$, а отношение их масс $\dfrac{m_1}{m_2} = 3$.
Во сколько раз скорость обращения второй планеты больше скорости обращения первой планеты?
Пусть радиус первой планеты $R_1 = 9R$, тогда радиус второй $R_2 = 4R$.
По второму закону Ньютона:
$ma_\text{ц} = F$
$m \frac{v^2}{R} = G\frac{mM}{R^2}$
Следовательно, $v = \sqrt{\dfrac{GM}{R}}$.
Найдём отношение $v_2$ к $v_1$:
$\frac{v_2}{v_1} = \frac{\sqrt{\dfrac{GM}{R_2}}}{\sqrt{\dfrac{GM}{R_1}}} = \sqrt{\frac{R_1}{R_2}} = \sqrt{\frac{9R}{4R}} = \frac{3}{2} = 1{,}5$
Ответ: 1,5.
Задание 3
При переходе с одной круговой орбиты на другую скорость движения искусственного спутника Земли увеличивается. Определите, как изменятся частота обращения спутника вокруг Земли и сила притяжения, действующая на спутник со стороны Земли.
Для каждой величины подберите соответствующий характер изменения:
- увеличится,
- уменьшится,
- не изменится.
| Частота обращения | Сила притяжения со стороны Земли |
|---|---|
Запишем второй закон Ньютона для спутника:
$F = ma_\text{ц}$
$F = G\frac{mM}{R^2}$
$a_\text{ц} = \frac{v^2}{R}$
Получим:
$m\frac{v^2}{R} = G\frac{mM}{R^2} \implies v^2 = \frac{GM}{R}$
$v \uparrow = \sqrt{\frac{GM}{R \downarrow}}$
По условию скорость увеличилась, а значит, радиус обращения уменьшился.
Сила притяжения со стороны Земли $F \uparrow = G\dfrac{mM}{R^2 \downarrow}$, значит, она увеличилась.
Частота обращения $\nu = \dfrac{1}{T}$.
$T \downarrow = \frac{l_\text{окр}}{v} = \frac{2\pi R\sqrt{R \downarrow}}{\sqrt{GM}}$
Так как правая часть уравнения уменьшилась, период обращения тоже уменьшился, а значит, частота увеличилась: $\nu \uparrow = \dfrac{1}{T \downarrow}$.
Ответ: 11.
Авторы статьи
