Закон сохранения энергии — Физика

При решении задач в механике можно идти двумя путями: через силы и ускорения или через энергию. Второй способ часто оказывается проще, поэтому важно понять, как связаны работа силы и энергия тела.

От второго закона Ньютона к энергии

Представим тело, движущееся вдоль горизонтальной оси $O X$ под действием сил с постоянным ускорением, запишем формулы.

F_{x} = m a_{x}

a_{x} = \frac{v_{x}^{2} - v_{0 x}^{2}}{2 S_{x}}

Подставим значение ускорения во второй закон Ньютона и выполним преобразования:

F_{x} S_{x} = m \frac{v_{x}^{2} - v_{0 x}^{2}}{2}

F_{x} S_{x} = \frac{m v_{x}^{2}}{2} - \frac{m v_{0 x}^{2}}{2}

Так как направление результирующей силы и перемещения совпадают, то работа всех сил, действующих на тело, равна изменению кинетической энергии этого тела.

A_{всех сил} = E_{кин.кон} - E_{кин.нач}

Выведенная формула работает также и для движения тел в пространстве и называется теоремой об изменении кинетической энергии.

Закон изменения полной механической энергии

Работу всех сил можно представить как сумму работ разных типов сил. В механике удобно разделять силы на потенциальные (например, сила тяжести) и непотенциальные (например, трение).

A_{всех сил} = A_{потенц. сил} - A_{непотенц. сил}

Работа потенциальных сил:

A_{потенц. сил} = - Δ E_{П}

Δ E_{П} = E_{П 2} - E_{П 1}

Где:
$E_{П 2}$ — конечная потенциальная энергия,
$E_{П 1}$ — начальная потенциальная энергия,
$E_{К 2}$ — конечная кинетическая энергия,
$E_{К 1}$ — начальная кинетическая энергия.
Таким образом, работа всех сил будет иметь следующий вид:

A_{всех сил} = - (E_{П 2} - E_{П 1}) + A_{непотенц. сил}

Подставим полученное значение в теорему об изменении кинетической энергии.

- (E_{П 2} - E_{П 1}) + A_{непотенц. сил} = E_{К 2} - E_{К 1}

Выразим работу непотенциальных сил.

A_{непотенц. сил} = E_{К 2} + E_{П 2} - (E_{К 1} + E_{П 1})

Обозначим полную механическую энергию как сумму кинетической и потенциальной энергий.

E_{мех.} = E_{К} + E_{П}

Подставим в формулу работы непотенциальных сил.

A_{непотенц. сил} = Δ E_{мех}

Эта формула называется законом изменения полной механической энергии. Таким образом, изменение полной механической энергии равно работе непотенциальных сил.

Подготовка к экзаменам в 100балльном репетиторе

Закон сохранения полной механической энергии

Рассмотрим пример, в котором брусок скатывается с гладкой наклонной плоскости под действием силы тяжести.

Брусок скатывается с гладкой наклонной плоскости

Работа силы трения равна нулю, так как трение отсутствует. Работа силы реакции опоры равна нулю, так как она перпендикулярна перемещению бруска. Следовательно, работа непотенциальных сил равна нулю.

A_{непотенц. сил} = 0

Таким образом, изменение механической энергии равно нулю.

0 = Δ E_{мех}

Подставим значение механической энергии.

0 = E_{К 2} + E_{П 2} - (E_{К 1} + E_{П 1})

Выполним преобразования и получим формулу.

E_{К 1} + E_{П 1} = E_{К 2} + E_{П 2}

Эта формула называется законом сохранения полной механической энергии.

Далее получим ЗСЭ для случая, когда непотенциальные силы совершают работу. Запишем закон изменения полной механической энергии.

A_{непотенц. сил} = E_{К 2} + E_{П 2} - (E_{К 1} + E_{П 1})

Выполним преобразования:

E_{К 1} + E_{П 1} + A_{непотенц. сил} = E_{К 2} + E_{П 2}

A_{непотенц. сил} = Δ E_{мех}

Задание 1

Стрелок совершает выстрел из пружинного пистолета вертикально вверх, вследствие чего шарик массой 50 г поднимается на высоту 3 м относительно начального положения. Найдите жёсткость пружины, если до выстрела она была сжата на 4 см. Ответ дайте в Н/м.
Дано:
$h = 3$ м
$m = 0, 05$ кг
$x_{0} = 0, 04$ м
$k$ — ?

Пуля до выстрела покоилась, в верхней точке траектории её скорость равна нулю.
Запишем закон сохранения энергии:
$E_{к 1} + E_{пр 1} + E_{п 1} = E_{к 2} + E_{пр 2} + E_{п 2}$ , но так как $E_{к 1} = 0$ , $E_{к 2} = 0$ , $E_{п 1} = 0$ , $E_{пр 2} = 0$ , то $E_{пр 1} = E_{п 2}$
Получается, энергия сжатия пружины перешла в потенциальную энергию тела:
$\frac{k x^{2}}{2} = m g h$
$k = \frac{2 m g h}{x^{2}} = \frac{2 \cdot 0, 05 \cdot 10 \cdot 3}{0, 04^{2}} = 1875 Н/м$
Ответ: 1875 Н/м.

Задание 2

Автомобиль, двигаясь с выключенным двигателем, на горизонтальном участке дороги имеет скорость 20 м/с. Далее он начинает подъём на склон горы и проезжает по нему 40 м до момента полной остановки. Какой угол образует склон горы с горизонтом? Ответ дайте в градусах.
Дано:
$v_{1} = 20$ м/с
$S = 40$ м
$α$ — ?

Выберем нулевой уровень потенциальной энергии относительно дороги и запишем закон сохранения энергии:
$E_{к 1} + E_{п 1} = E_{к 2} + E_{п 2}$
$\frac{m v_{1}^{2}}{2} + 0 = 0 + m g h$
Из геометрических соображений, $\frac{h}{s} = \sin α \Rightarrow h = S \cdot \sin α$
$\frac{m v_{1}^{2}}{2} = m g S \cdot \sin α$
$\sin α = \frac{v_{1}^{2}}{2 g s}$
$\sin α = \frac{20^{2}}{2 \cdot 10 \cdot 40} = 0, 5$
$α = 30 °$
Ответ: 30°.

Задание 3

Нить с грузом, масса которого равна 0,4 кг, отвели от вертикали на угол 60° (см. рисунок). Чему равна длина нити, если кинетическая энергия груза при прохождении им положения равновесия равна 4 Дж? Ответ дайте в м.
Дано:
$m = 0, 4$ кг
$α = 60 °$
$E_{К 2} = 4$ Дж
$l$ — ?

В начале эксперимента груз находится на высоте $h$ .
Запишем закон сохранения энергии:
$E_{к 1} + E_{п 1} = E_{к 2} + E_{п 2}$ , где $E_{к 1} = 0$ и $E_{п 2} = 0$ , $E_{п 1} = m g h$
$m g h = E_{к 2}$
Получается, потенциальная энергия полностью перешла в кинетическую.
Из геометрических соображений, $\cos α = \frac{b}{l} \Rightarrow b = l \cdot \cos α$
$h + b = l$ — длина всей нити
$h + l \cdot \cos α = l$
$h = l - l \cdot \cos α = l \cdot (1 - \cos α)$
Получается, что:
$m g l \cdot (1 - \cos α) = E_{к 2}$
$l = \frac{E_{к 2}}{m g (1 - \cos α)} = \frac{4}{0, 4 \cdot 10 \cdot (1 - \cos 60 °)} = 2 м$
Ответ: 2 м.

Итог

Работа всех сил связана с изменением кинетической энергии тела — это позволяет перейти от описания движения через силы к описанию через энергию. Введение потенциальной энергии даёт возможность объединить разные виды энергии в одну величину — полную механическую энергию. Если непотенциальные силы отсутствуют, эта энергия сохраняется, что значительно упрощает решение многих задач.