При решении задач в механике можно идти двумя путями: через силы и ускорения или через энергию. Второй способ часто оказывается проще, поэтому важно понять, как связаны работа силы и энергия тела.
От второго закона Ньютона к энергии
Представим тело, движущееся вдоль горизонтальной оси $OX$ под действием сил с постоянным ускорением, запишем формулы.
$F_x = m a_x$
$a_x = \dfrac{v_x^2 - v_{0x}^2}{2S_x}$
Подставим значение ускорения во второй закон Ньютона и выполним преобразования:
$F_x S_x = m\dfrac{v_x^2 - v_{0x}^2}{2}$
$F_x S_x = \dfrac{mv_x^2}{2} - \dfrac{mv_{0x}^2}{2}$
Так как направление результирующей силы и перемещения совпадают, то работа всех сил, действующих на тело, равна изменению кинетической энергии этого тела.
$A_{\text{всех сил}} = E_{\text{кин.кон}} - E_{\text{кин.нач}}$
Выведенная формула работает также и для движения тел в пространстве и называется теоремой об изменении кинетической энергии.
Закон изменения полной механической энергии
Работу всех сил можно представить как сумму работ разных типов сил. В механике удобно разделять силы на потенциальные (например, сила тяжести) и непотенциальные (например, трение).
$A_{\text{всех сил}} = A_{\text{потенц. сил}} - A_{\text{непотенц. сил}}$
Работа потенциальных сил:
$A_{\text{потенц. сил}} = -\Delta E_\text{П}$
$\Delta E_\text{П} = E_{\text{П}2} - E_{\text{П}1}$
Где:
$E_{\text{П}2}$ — конечная потенциальная энергия,
$E_{\text{П}1}$ — начальная потенциальная энергия,
$E_{\text{К}2}$ — конечная кинетическая энергия,
$E_{\text{К}1}$ — начальная кинетическая энергия.
Таким образом, работа всех сил будет иметь следующий вид:
$A_{\text{всех сил}} = -(E_{\text{П}2} - E_{\text{П}1}) + A_{\text{непотенц. сил}}$
Подставим полученное значение в теорему об изменении кинетической энергии.
$-(E_{\text{П}2} - E_{\text{П}1}) + A_{\text{непотенц. сил}} = E_{\text{К}2} - E_{\text{К}1}$
Выразим работу непотенциальных сил.
$A_{\text{непотенц. сил}} = E_{\text{К}2} + E_{\text{П}2} - (E_{\text{К}1} + E_{\text{П}1})$
Обозначим полную механическую энергию как сумму кинетической и потенциальной энергий.
$E_{\text{мех.}} = E_\text{К} + E_\text{П}$
Подставим в формулу работы непотенциальных сил.
$A_{\text{непотенц. сил}} = \Delta E_{\text{мех}}$
Эта формула называется законом изменения полной механической энергии. Таким образом, изменение полной механической энергии равно работе непотенциальных сил.
Закон сохранения полной механической энергии
Рассмотрим пример, в котором брусок скатывается с гладкой наклонной плоскости под действием силы тяжести.
Работа силы трения равна нулю, так как трение отсутствует. Работа силы реакции опоры равна нулю, так как она перпендикулярна перемещению бруска. Следовательно, работа непотенциальных сил равна нулю.
$A_{\text{непотенц. сил}} = 0$
Таким образом, изменение механической энергии равно нулю.
$0 = \Delta E_{\text{мех}}$
Подставим значение механической энергии.
$0 = E_{\text{К}2} + E_{\text{П}2} - (E_{\text{К}1} + E_{\text{П}1})$
Выполним преобразования и получим формулу.
$E_{\text{К}1} + E_{\text{П}1} = E_{\text{К}2} + E_{\text{П}2}$
Эта формула называется законом сохранения полной механической энергии.
Закон сохранения энергии (ЗСЭ) — в случае, если работа непотенциальных сил равна нулю, полная механическая энергия будет оставаться постоянной.
Далее получим ЗСЭ для случая, когда непотенциальные силы совершают работу. Запишем закон изменения полной механической энергии.
$A_{\text{непотенц. сил}} = E_{\text{К}2} + E_{\text{П}2} - (E_{\text{К}1} + E_{\text{П}1})$
Выполним преобразования:
$E_{\text{К}1} + E_{\text{П}1} + A_{\text{непотенц. сил}} = E_{\text{К}2} + E_{\text{П}2}$
$A_{\text{непотенц. сил}} = \Delta E_{\text{мех}}$
Задание 1
Стрелок совершает выстрел из пружинного пистолета вертикально вверх, вследствие чего шарик массой 50 г поднимается на высоту 3 м относительно начального положения. Найдите жёсткость пружины, если до выстрела она была сжата на 4 см. Ответ дайте в Н/м.
Дано:
$h = 3$ м
$m = 0{,}05$ кг
$x_0 = 0{,}04$ м
$k$ — ?
Пуля до выстрела покоилась, в верхней точке траектории её скорость равна нулю.
Запишем закон сохранения энергии:
$E_{\text{к}1} + E_{\text{пр}1} + E_{\text{п}1} = E_{\text{к}2} + E_{\text{пр}2} + E_{\text{п}2}$, но так как $E_{\text{к}1} = 0$, $E_{\text{к}2} = 0$, $E_{\text{п}1} = 0$, $E_{\text{пр}2} = 0$, то $E_{\text{пр}1} = E_{\text{п}2}$
Получается, энергия сжатия пружины перешла в потенциальную энергию тела:
$\dfrac{kx^2}{2} = mgh$
$k = \dfrac{2mgh}{x^2} = \dfrac{2 \cdot 0{,}05 \cdot 10 \cdot 3}{0{,}04^2} = 1875 \text{ Н/м}$
Ответ: 1875 Н/м.
Задание 2
Автомобиль, двигаясь с выключенным двигателем, на горизонтальном участке дороги имеет скорость 20 м/с. Далее он начинает подъём на склон горы и проезжает по нему 40 м до момента полной остановки. Какой угол образует склон горы с горизонтом? Ответ дайте в градусах.
Дано:
$v_1 = 20$ м/с
$S = 40$ м
$\alpha$ — ?
Выберем нулевой уровень потенциальной энергии относительно дороги и запишем закон сохранения энергии:
$E_{\text{к}1} + E_{\text{п}1} = E_{\text{к}2} + E_{\text{п}2}$
$\dfrac{mv_1^2}{2} + 0 = 0 + mgh$
Из геометрических соображений, $\dfrac{h}{s} = \sin\alpha \Rightarrow h = S \cdot \sin\alpha$
$\dfrac{mv_1^2}{2} = mgS \cdot \sin\alpha$
$\sin\alpha = \dfrac{v_1^2}{2gs}$
$\sin\alpha = \dfrac{20^2}{2 \cdot 10 \cdot 40} = 0{,}5$
$\alpha = 30°$
Ответ: 30°.
Задание 3
Нить с грузом, масса которого равна 0,4 кг, отвели от вертикали на угол 60° (см. рисунок). Чему равна длина нити, если кинетическая энергия груза при прохождении им положения равновесия равна 4 Дж? Ответ дайте в м.
Дано:
$m = 0{,}4$ кг
$\alpha = 60°$
$E_{\text{К}2} = 4$ Дж
$l$ — ?
В начале эксперимента груз находится на высоте $h$.
Запишем закон сохранения энергии:
$E_{\text{к}1} + E_{\text{п}1} = E_{\text{к}2} + E_{\text{п}2}$, где $E_{\text{к}1} = 0$ и $E_{\text{п}2} = 0$, $E_{\text{п}1} = mgh$
$mgh = E_{\text{к }2}$
Получается, потенциальная энергия полностью перешла в кинетическую.
Из геометрических соображений, $\cos\alpha = \dfrac{b}{l} \Rightarrow b = l \cdot \cos\alpha$$h + b = l$ — длина всей нити
$h + l \cdot \cos\alpha = l$
$h = l − l \cdot \cos\alpha = l\cdot(1 − \cos\alpha)$
Получается, что:
$mgl\cdot(1 − \cos\alpha) = E_{\text{к}2}$
$l = \dfrac{E_{\text{к}2}}{mg(1 − \cos\alpha)} = \dfrac{4}{0{,}4 \cdot 10 \cdot (1 − \cos 60°)} = 2 \text{ м}$
Ответ: 2 м.
Итог
Работа всех сил связана с изменением кинетической энергии тела — это позволяет перейти от описания движения через силы к описанию через энергию. Введение потенциальной энергии даёт возможность объединить разные виды энергии в одну величину — полную механическую энергию. Если непотенциальные силы отсутствуют, эта энергия сохраняется, что значительно упрощает решение многих задач.
Авторы:
Саня Эбонит, преподаватель «100балльного репетитора» по физике ЕГЭ;
Кир Синюткин, методист «100балльного репетитора» по физике ЕГЭ
