В 11-м классе многие ученики считают, что производные — это тема, которая нужна только для сдачи профильного ЕГЭ по математике. Но это заблуждение. На ЕГЭ по физике производные встречаются в нескольких типах заданий, и без их понимания легко потерять баллы.
В каких заданиях ЕГЭ по физике понадобятся производные?
- Кинематика: скорость — это производная координаты по времени, а ускорение — производная скорости по времени.
- Электромагнитные колебания: сила тока — это производная заряда по времени.
- Задания с графиками, где нужно определить, какая величина изображена на графике, сравнивая форму кривой с производной от другой величины.
- Задачи на механические колебания, где через производную связывают смещение, скорость и ускорение.
Что такое производная
Производная функции — это предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю (и этот предел существует). На математическом языке это записывается так:
На практике не нужно вычислять производные через пределы. Достаточно знать таблицу производных основных функций и правила дифференцирования. Но само определение важно понимать: производная показывает, как быстро меняется функция в данной точке.
Физический смысл производной
Физический смысл производной — это скорость изменения величины или процесса.
Производная от физической величины по времени показывает, как быстро эта величина меняется. Рассмотрим самые частые примеры из ЕГЭ по физике.
Скорость — это первая производная от координаты по времени. Если положение тела задано функцией $x(t)$, то мгновенная скорость в любой момент времени равна производной этой функции:
$v(t) = x'(t) = \frac{dx}{dt}$
Ускорение — это первая производная от скорости по времени или, что то же самое, вторая производная от координаты по времени:
$a(t) = v'(t) = v''(t) = \frac{d^2x}{dt^2}$
Сила тока — это первая производная от электрического заряда по времени. Если заряд, прошедший через поперечное сечение проводника, задан функцией $q(t)$, то сила тока в любой момент времени равна:
$I(t) = q'(t) = \frac{dq}{dt}$
В механических и электромагнитных колебаниях эти связи используются постоянно. Например, если координата меняется по закону $x(t) = A \cdot \sin(\omega t)$, то скорость будет производной этой функции, а ускорение — производной скорости.
Геометрический смысл производной (для понимания графиков)
Геометрический смысл производной важен для анализа графиков в заданиях ЕГЭ, где нужно сопоставить график зависимости одной физической величины от другой.
Если к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x = a$ можно провести касательную, не параллельную оси $Y$, то значение производной $f'(a)$ равно угловому коэффициенту (наклону) этой касательной:
$k = f'(a)$
Поскольку угловой коэффициент прямой $k$ связан с углом $\alpha$, который эта прямая образует с положительным направлением оси $X$, соотношением $k = \tg, \alpha$, то справедливо равенство:
$f'(a) = \tg \alpha$
Это означает, что чем круче график функции в данной точке, тем больше по модулю значение производной. Если график возрастает, производная положительна. Если график убывает, производная отрицательна. Если график имеет горизонтальную касательную (например, в точке максимума или минимума), производная равна нулю.
На ЕГЭ по физике это знание помогает, например, по графику зависимости координаты от времени определить моменты, когда скорость максимальна, минимальна или равна нулю. В точке, где график $x(t)$ имеет максимум или минимум, касательная горизонтальна, значит, производная (то есть скорость) равна нулю. Там, где график самый крутой, скорость максимальна по модулю.
Таблица производных и правила дифференцирования для ЕГЭ по физике
Эту таблицу нужно знать наизусть.
Одних табличных производных недостаточно. В физике функции редко бывают простыми. Чаще всего они представляют собой сумму, разность, произведение или частное нескольких функций, а также сложную функцию (функцию от функции).
Правило 1. Производная суммы (разности)
Производная суммы функций равна сумме их производных. Производная разности — разности производных.
$(u + v)' = u' + v'$
$(u - v)' = u' - v'$
Пример: $x(t) = 5 — 13t + 6t^2$. Тогда $v(t) = x'(t) = 0 — 13 + 12t = -13 + 12t$.
Правило 2. Вынос константы за знак производной
Постоянный множитель можно вынести за знак производной.
$(C \cdot f)' = C \cdot f'$
Пример: $x(t) = 5 \cdot t^2$. Тогда $v(t) = 5 \cdot 2 \cdot t = 10t$.
Правило 3. Производная произведения
$(u \cdot v)' = u' \cdot v + v' \cdot u$
Пример: если $x(t) = t \cdot \sin t$, то $x'(t) = 1 \cdot \sin t + \cos t \cdot t = \sin t + t \cdot \cos t$.
Правило 4. Производная частного
$\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u' \cdot v - v' \cdot u}{v^2}$
Правило 5. Производная сложной функции
Если функция $f$ зависит от переменной $u$, а $u$, в свою очередь, зависит от $x$, то производная сложной функции равна произведению производной внешней функции по промежуточному аргументу на производную внутренней функции по $x$.
$f'(x) = f'(u) \cdot u'(x)$
В физике это правило встречается очень часто. Например, $\sin(\omega t)$ — это сложная функция: внешняя функция $\sin u$, внутренняя $u = \omega t$. Производная: $(\sin u)’ = \cos u$, $(\omega t)’ = \omega$, итого $\omega \cdot \cos(\omega t)$.
Ещё пример: $\cos(\omega t + \varphi_0)$. Производная $(\cos(\omega t + \varphi_0))’ = -\sin(\omega t + \varphi_0) \cdot \omega = -\omega \cdot \sin(\omega t + \varphi_0)$.
Пример: разбор движения тела
Пусть движение тела описывается законом:
$x(t) = 5 - 13t + 6t^2$
Здесь $x(t)$ — координата тела в момент времени $t$. Найдём скорость тела как первую производную координаты по времени.
$v(t) = x'(t) = (5)' - (13t)' + (6t^2)'$
Производная константы 5 равна 0. Производная $13t$ равна 13 (так как производная $t$ равна 1, а константа 13 выносится). Производная $6t^2$ равна $6 \cdot 2 \cdot t = 12t$ (по правилу степени и выносу константы).
Таким образом:
$v(t) = 0 - 13 + 12t = -13 + 12t$
Теперь найдём ускорение как производную скорости по времени (или вторую производную координаты).
$a(t) = v'(t) = (-13)' + (12t)'$
Производная константы $-13$ равна 0. Производная $12t$ равна 12.
Таким образом:
$a(t) = 0 + 12 = 12 \text{ м/с}^2$
Ускорение получилось постоянным и равным $12 \text{ м/с}^2$. Это означает, что тело движется равноускоренно. Начальная скорость (при $t = 0$) равна $v(0) = -13$ м/с (знак минус означает, что в начальный момент тело двигалось в отрицательном направлении оси $X$).
Этот пример показывает, как с помощью производных можно из закона движения получить закон изменения скорости и ускорения.
Производные в тригонометрических функциях (для колебаний)
В 11-м классе важнейший раздел физики — механические и электромагнитные колебания. Они описываются с помощью синусов и косинусов. Поэтому нужно твёрдо знать производные от $\sin$ и $\cos$.
Производная $(\sin x)’ = \cos x$.
Производная $(\cos x)’ = -\sin x$.
Рассмотрим гармоническое колебание. Пусть координата тела меняется по закону:
$x(t) = A \cdot \sin(\omega t + \varphi_0)$
где $A$ — амплитуда, $\omega$ — циклическая частота, $\varphi_0$ — начальная фаза.
Найдём скорость:
$v(t) = x'(t) = A \cdot \cos(\omega t + \varphi_0) \cdot (\omega t + \varphi_0)' = A \cdot \omega \cdot \cos(\omega t + \varphi_0)$
Найдём ускорение:
$a(t) = v'(t) = A \cdot \omega \cdot (-\sin(\omega t + \varphi_0)) \cdot \omega = -A \cdot \omega^2 \cdot \sin(\omega t + \varphi_0) = -\omega^2 \cdot x(t)$
Это ключевое соотношение для гармонических колебаний: ускорение пропорционально смещению и направлено противоположно ему (знак минус).
Если же координата задана через косинус: $x(t) = A \cdot \cos(\omega t + \varphi_0)$, то:
$v(t) = -A \cdot \omega \cdot \sin(\omega t + \varphi_0)$
$a(t) = -A \cdot \omega^2 \cdot \cos(\omega t + \varphi_0) = -\omega^2 \cdot x(t)$
В электромагнитных колебаниях заряд на конденсаторе часто задают через косинус: $q(t) = q_m \cdot \cos(\omega t)$. Тогда сила тока:
$I(t) = q'(t) = -q_m \cdot \omega \cdot \sin(\omega t)$
Обрати внимание: ток опережает заряд по фазе на $\pi/2$ (потому что $-\sin(\omega t) = \cos(\omega t + \pi/2)$).
Типичная ошибка — неправильная работа со знаками
Важно запомнить:
- Если координата убывает — скорость отрицательна.
- Если скорость убывает — ускорение отрицательно.
Знак минус в формулах $a(t) = -\omega^2 \cdot x(t)$ означает, что ускорение всегда направлено противоположно смещению.
Итог
Производная — это универсальный инструмент, который позволяет:
- описывать скорость изменения любой физической величины во времени;
- находить мгновенную скорость и ускорение по закону движения;
- связывать заряд и силу тока в электрических цепях;
- анализировать графики колебаний и определять, какая величина изображена.
Понимание производной делает задачи по физике более логичными и значительно упрощает их решение.
Авторы:
Саня Эбонит, преподаватель «100балльного репетитора» по физике ЕГЭ;
Кир Синюткин, методист «100балльного репетитора» по физике ЕГЭ
Авторы статьи
