В задачах по физике редко бывает достаточно одной формулы. Чаще ситуация описывается несколькими уравнениями, которые нужно решать совместно. Это встречается в задачах на движение под углом, равновесие тел, электрические цепи, газовые процессы.
На ЕГЭ по физике системы уравнений встречаются как в первой части (например, при анализе графиков изопроцессов), так и во второй части (в заданиях 22–26). Без умения решать системы уравнений невозможно получить высокий балл.
Эта статья систематизирует все методы решения систем уравнений, которые необходимы выпускнику.
Что такое система уравнений
Система уравнений — это два или более уравнения, которые содержат общие неизвестные переменные. Решить систему — значит найти такие значения переменных, которые удовлетворяют всем уравнениям одновременно.
Метод подстановки
Метод подстановки — это самый простой и универсальный способ решения систем линейных уравнений. Его алгоритм состоит из четырёх шагов.
Шаг 1. Выразить одну переменную из одного линейного уравнения через другую переменную.
Шаг 2. Подставить полученное выражение в другое уравнение системы.
Шаг 3. Решить полученное уравнение, которое содержит только одну переменную.
Шаг 4. Подставить найденное значение переменной в выражение из шага 1 и найти вторую переменную.
Пример
Рассмотрим систему уравнений:
Выразим $b$ из первого уравнения и подставим во второе:
Преобразовав выражения, получим:
В физике метод подстановки используется чаще остальных.
Метод сложения (вычитания) уравнений
Метод сложения (вычитания) удобен, когда коэффициенты при одной из переменных в уравнениях одинаковы или противоположны. Суть метода — избавиться от одной из переменных, сложив или вычтя уравнения почленно.
Шаг 1. Умножить каждое уравнение системы на такое число, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами. Если коэффициенты уже противоположны, можно сразу переходить к шагу 2.
Шаг 2. Почленно сложить (или вычесть) левые и правые части уравнений. При сложении переменная с противоположными коэффициентами исчезает.
Шаг 3. Решить полученное уравнение с одной переменной.
Шаг 4. Подставить найденное значение в одно из исходных уравнений и найти вторую переменную.
Пример
Рассмотрим систему уравнений:
Сложим левые и правые части уравнений:
Сократим на 2, получим, что $a = b$. Подставим это в исходное уравнение и решим систему:
В физике метод сложения особенно полезен в задачах на электрические цепи по правилам Кирхгофа, где получается система из трёх и более уравнений. Он также эффективен в задачах на динамику, где нужно найти ускорение системы связанных тел.
Практические советы для ЕГЭ
Совет 1. Если система состоит из двух уравнений, всегда можно попробовать разделить одно уравнение на другое. Это часто позволяет избавиться от неизвестных, которые не нужно находить (например, от $\nu$ и $R$ в газовых задачах).
Совет 2. Если в системе есть тригонометрические функции, попробуй возвести уравнения в квадрат и сложить. Это даёт возможность избавиться от угла и найти амплитуду или модуль вектора.
Совет 3. В задачах на изопроцессы всегда проверяй, какой параметр остаётся постоянным. Это подскажет, какой закон применить и какую систему составить.
Совет 4. Если система имеет более двух уравнений, решай её последовательно: сначала исключи одну переменную из двух уравнений, затем — из третьего.
Совет 5. Не бойся дробных коэффициентов. В физике они возникают часто (например, $\frac{1}{2}$ в формуле кинетической энергии). Работай с ними аккуратно.
Итог
Системы уравнений — это базовый инструмент для решения задач по физике. Мы рассмотрели два основных метода — подстановки и сложения — и разобрались, как применять их в типичных задачах ЕГЭ. Эти навыки позволяют уверенно решать задачи на движение, равновесие, электрические цепи, газовые процессы и колебания.
Авторы статьи
