Равноускоренное движение: от теории до графика

При прямолинейном равноускоренном движении скорость материальной точки за любые равные промежутки времени меняется на одну и ту же величину.
Проекция ускорения на ось х имеет вид: [i]

a_{x} = \frac{v_{x} - v_{0 x}}{t}

Где:
$a_{x}$ — проекция ускорения на ось ОХ, [м/с²];
$v_{x}$ — проекция конечной скорости на ось OX, [м/с];
$v_{0 x}$ — проекция начальной скорости на ось OY, [м/с];
$t$ — промежуток времени, в течение которого происходило ускорение точки, [с].
Из этой формулы выведем зависимость скорости от времени: [i]

v_{x} = v_{0 x} + a_{x} \cdot t .

Как и в равномерном прямолинейном движении, площадь под графиком зависимости скорости от времени будет равна перемещению: [i]

Так как фигура под графиком является трапецией, то найдём её площадь по формуле: [i]

S = \frac{a + b}{2} \cdot h .

Заменим буквенные значения на те, что указаны на графике и получим формулу для нахождения перемещения при прямолинейном равноускоренном движении: [i]

S_{x} = \frac{v_{0 x} + v_{x}}{2} \cdot t .

Данная формула присутствует в кодификаторе ЕГЭ, поэтому её можно использовать без вывода.
Подставим формулу скорости $v_{x}$ в формулу выше, получим: [i]

S_{x} = \frac{v_{0 x} + v_{0 x} + a_{x} \cdot t}{2} \cdot t

S_{x} = \frac{2 v_{0 x} + a_{x} \cdot t}{2} \cdot t

S_{x} = \frac{2 v_{0 x} \cdot t + a_{x} \cdot t^{2}}{2}

S_{x} = \frac{2 v_{0 x} \cdot t}{2} + \frac{a_{x} \cdot t^{2}}{2}

S_{x} = v_{0 x} \cdot t + \frac{a_{x} \cdot t^{2}}{2} .

Однако из равномерного прямолинейного движения мы знаем, что: [i]

S_{x} = x - x_{0} .

Объединим две последние формулы и получим: [i]

x - x_{0} = v_{0 x} \cdot t + \frac{a_{x} \cdot t^{2}}{2}

x = x_{0} + v_{0 x} \cdot t + \frac{a_{x} \cdot t^{2}}{2} .

Данная формула также присутствует в кодификаторе ЕГЭ, то есть на экзамене ей можно пользоваться без вывода.
Выведем формулу перемещения материальной точки, в которой отсутствует переменная времени, для этого используем две формулы: [i]

S_{x} = v_{0 x} \cdot t + \frac{a_{x} \cdot t^{2}}{2} .

v_{x} = v_{0 x} + a_{x} \cdot t .

Из нижней формулы выведем время: [i]

t = \frac{v_{x} - v_{0 x}}{a_{x}} .

Подставим его в верхнюю формулу и выполним преобразования: [i]

S_{x} = v_{0 x} \cdot \frac{v_{x} - v_{0 x}}{a_{x}} + \frac{a_{x}}{2} \cdot \frac{(v_{x} - v_{0 x})^{2}}{a_{x}^{2}} =

= \frac{v_{0 x} \cdot v_{x} - v_{0 x}^{2}}{a_{x}} + \frac{v_{x}^{2} - 2 v_{0 x} \cdot v_{x} + v_{0 x}^{2}}{2 a_{x}} =

= \frac{2 v_{0 x} \cdot v_{x} - 2 v_{0 x}^{2} + v_{x}^{2} - 2 v_{0 x} \cdot v_{x} + v_{0 x}^{2}}{2 a_{x}} =

= \frac{v_{x}^{2} - v_{0 x}^{2}}{2 a_{x}} .

Получим формулу проекции перемещения материальной точки: [i]

S_{x} = \frac{v_{x}^{2} - v_{0 x}^{2}}{2 a_{x}} .

Данная формула, как и все формулы выше, присутствует в кодификаторе, таким образом, её можно применять без вывода. [i]

Разбор задач

Задание 1
На рисунке показан график зависимости проекции $v_{x}$ скорости тела от времени $t$ . Какова проекция $a_{x}$ ускорения этого тела в момент времени 4,1 с? Ответ дайте в ${м/с}^{2}$ .
[i]

Необходимо найти проекцию ускорения тела в момент 4,1 с, то есть на участке, отмеченном красной линией:
На данном участке проекция ускорения тела остаётся постоянной, так как угол наклона графика не меняется.
Найдём проекцию ускорения тела на ось Х:
$a_{x} = \frac{v_{к} — v_{н}}{t} = \frac{0 — 12}{1} = - 12 {м/с}^{2} .$
Ответ: $- 12 {м/с}^{2}$ . [i]

Задание 2
На рисунке представлен график зависимости модуля скорости $v$ прямолинейно движущегося тела от времени $t$ . Определите по графику путь, пройденный телом, в интервале времени от 0 до 3 с. Ответ дайте в м.
[i]

Так как дан график зависимости скорости от времени, то путь, пройденный телом от 0 до 3 с, равен площади под графиком за первые 3 с, отметим её:
В данном случае площадь будет считаться как площадь трапеции.
Вспомним формулу площади трапеции с основаниями $a$ и $b$ и высотой $h$ :
$S = \frac{a + b}{2} \cdot h = \frac{2 + 3}{2} \cdot 10 = 25 м$ .
Ответ: 25 м. [i]

Задание 3
На рисунке приведён график зависимости проекции $v_{x}$ скорости тела от времени $t$ .
Определите путь, пройденный телом в интервале времени от 7 до 12 с. Ответ дайте в м. [i]

Так как дан график зависимости скорости от времени, то путь, пройденный телом, будет равен площади между графиком и осью времени.
Для того чтобы не ошибиться в задаче, нужно отметить нужный интервал времени на рисунке, а также сразу выделить площади, которые необходимо найти для решения задачи:
Площадь прямоугольного треугольника находится по формуле: $S = \frac{1}{2} a b$ , где $a$ и $b$ — это катеты.
Найдём $S_{1}$ и $S_{2}$ :
$| S_{1} | = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot (11 — 7) = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 4 = 20 м$ .
$S_{2} = \frac{1}{2} \cdot 2, 5 \cdot 1 = 1, 25 м$ .
Так как необходимо найти путь, то модули данных значений нужно просуммировать:
Общий путь: $| S_{1} | + S_{2} = 20 + 1, 25 = 21, 25$ м.
Ответ: 21,25 м. [i]