Свободное падение и баллистика

Ускорение свободного падения обозначается буквой $g$ . Его принято считать равным 9,80665 м/с², однако на ЕГЭ в справочных материалах используется $g = 10$ м/с².
Чтобы лучше разобраться в теме, рассмотрим две типовые задачи на вывод формул. В каждой из них описана конкретная ситуация и указаны величины, которые необходимо определить. [i]

Задача 1. Бросок тела вертикально вверх

Тело брошено от земли вертикально вверх с начальной скоростью. Ускорение свободного падения — $g$ . Пренебрегая сопротивлением воздуха, найдём максимальную высоту и время подъёма тела. [i]

Ось координат OY и уровень земли как начало отсчёта при броске тела вверх.

Введём ось координат $O Y$ и обозначим уровень земли за начало отсчёта. Запишем уравнение координаты $y$ и уравнение проекции скорости на ось $O Y$ для прямолинейного равноускоренного движения: [i]

y = y_{0} + v_{0 y} \cdot t + \frac{a_{y} t^{2}}{2}

v_{y} = v_{0 y} + a_{y} \cdot t

Так как тело было брошено с земли, то начальная координата $y_{0}$ равна нулю. Тело бросили вертикально вверх — таким образом, проекция начальной скорости на ось $O Y$ равна начальной скорости $v_{0}$ .
Вектор ускорения свободного падения всегда направлен вертикально вниз, то есть в противоположную сторону оси $O Y$ . Значит, проекция ускорения равна $- g$ . [i]

y_{0} = 0

v_{0 y} = v_{0}

a_{y} = - g

Подставим полученные значения в уравнения координаты $y$ и проекции скорости на ось $O Y$ , получим: [i]

y = v_{0} \cdot t - \frac{g t^{2}}{2}

v_{y} = v_{0} - g \cdot t

При подъёме тела на максимальную высоту $h$ проекция скорости на ось $O Y$ в точке $B$ равна $v_{y} = 0$ . Обозначим за $t_{B}$ время подъёма тела. Распишем формулу для скорости: [i]

0 = v_{0} - g \cdot t_{B}

t_{B} = \frac{v_{0}}{g}

Чтобы найти высоту подъёма $h$ , преобразуем уравнение координаты $y$ : [i]

y = v_{0} \cdot t - \frac{g t^{2}}{2}

Координата $y$ в максимальной точке подъёма ( $B$ ) будет равна $h$ , время подъёма до максимальной высоты равно $t_{B}$ , подставим: [i]

h = v_{0} \cdot t_{B} - \frac{g t_{B}^{2}}{2}

Подставим в уравнение найденное значение $t_{B}$ . Получим: [i]

h = \frac{v_{0}^{2}}{2 g}

Этих формул нет в кодификаторе, поэтому их необходимо выводить. [i]

Подготовка к экзаменам в 100балльном репетиторе

Задача 2. Свободное падение с высоты

Тело брошено с высоты $h$ без начальной скорости. Ускорение свободного падения — $g$ . Пренебрегая сопротивлением воздуха, найдём формулу нахождения времени падения и скорости тела перед ударом о землю.
Способ 1
Сделаем рисунок и введём переменные: [i]

Ось координат OY и уровень земли как начало отсчёта при падении тела.

Введём ось координат $O Y$ и обозначим уровень земли за начало отсчёта.
Так как тело упало на землю (точка $D$ ), то координата $y$ будет равна нулю, начальная координата будет равна высоте падения $y_{0} = h$ . По условию начальная скорость равна $v_{0} = v_{0 y} = 0$ .
Запишем уравнение координаты $y$ и уравнение проекции скорости на ось $O Y$ для прямолинейного равноускоренного движения: [i]

y = y_{0} + v_{0 y} \cdot t + \frac{a_{y} t^{2}}{2}

v_{y} = v_{0 y} + a_{y} \cdot t

Выполним преобразования: [i]

0 = h - \frac{g \cdot t_{D}^{2}}{2}

h = \frac{g \cdot t_{D}^{2}}{2}

Выразим искомое время падения $t_{D}$ : [i]

t_{D}^{2} = \frac{2 h}{g} \Rightarrow t_{D} = \sqrt{\frac{2 h}{g}}

Теперь найдём скорость перед ударом: [i]

v_{y} = 0 - g \cdot t

v_{y} = - g \cdot t

Распишем проекцию скорости на ось $O Y$ в точке $D$ : [i]

v_{y D} = - g \cdot t_{D}

Подставим найденное значение $t_{D}$ : [i]

v_{y} = - g \cdot \sqrt{\frac{2 h}{g}} = - \sqrt{2 g h}

v_{y D} = - \sqrt{2 g h}

v_{D} = | v_{y D} | = \sqrt{2 g h}

Способ 2
Направим вниз ось $O Y$ , а начало отсчёта поместим в точку, в которой находилось тело изначально. [i]

График проекции ускорения свободного падения.

Так как ось $O Y$ направлена вертикально вниз, то проекция ускорения свободного падения на неё будет положительной, $y_{0} = 0$ , $y = h$ , а $v_{0 y}$ останется равной нулю.
В данном случае уравнение координаты $y$ и проекции скорости будут выглядеть следующим образом: [i]