Свободное падение и баллистика — Физика

Ускорение свободного падения обозначается буквой $g$. Его принято считать равным 9,80665 м/с², однако на ЕГЭ в справочных материалах используется $g = 10$ м/с².
Чтобы лучше разобраться в теме, рассмотрим две типовые задачи на вывод формул. В каждой из них описана конкретная ситуация и указаны величины, которые необходимо определить.

Задача 1. Бросок тела вертикально вверх

Тело брошено от земли вертикально вверх с начальной скоростью. Ускорение свободного падения — $g$. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найдём максимальную высоту и время подъёма тела.

Ось координат OY и уровень земли как начало отсчёта при броске тела вверх.

Введём ось координат $OY$ и обозначим уровень земли за начало отсчёта. Запишем уравнение координаты $y$ и уравнение проекции скорости на ось $OY$ для прямолинейного равноускоренного движения:

y = y_0 + v_{0y} \cdot t + \frac{a_y t^2}{2}

v_y = v_{0y} + a_y \cdot t

Так как тело было брошено с земли, то начальная координата $y_0$ равна нулю. Тело бросили вертикально вверх — таким образом, проекция начальной скорости на ось $OY$ равна начальной скорости $v_0$.
Вектор ускорения свободного падения всегда направлен вертикально вниз, то есть в противоположную сторону оси $OY$. Значит, проекция ускорения равна $-g$.

y_0 = 0

v_{0y} = v_0

a_y = -g

Подставим полученные значения в уравнения координаты $y$ и проекции скорости на ось $OY$, получим:

y = v_0 \cdot t - \frac{g t^2}{2}

v_y = v_0 - g \cdot t

При подъёме тела на максимальную высоту $h$ проекция скорости на ось $OY$ в точке $B$ равна $v_y = 0$. Обозначим за $t_B$ время подъёма тела. Распишем формулу для скорости:

0 = v_0 - g \cdot t_B

t_B = \frac{v_0}{g}

Чтобы найти высоту подъёма $h$, преобразуем уравнение координаты $y$:

y = v_0 \cdot t - \frac{g t^2}{2}

Координата $y$ в максимальной точке подъёма ($B$) будет равна $h$, время подъёма до максимальной высоты равно $t_B$, подставим:

h = v_0 \cdot t_B - \frac{g t_B^2}{2}

Подставим в уравнение найденное значение $t_B$. Получим:

h = \frac{v_0^2}{2g}

Этих формул нет в кодификаторе, поэтому их необходимо выводить.

Подготовка к экзаменам в 100балльном репетиторе

Задача 2. Свободное падение с высоты

Тело брошено с высоты $h$ без начальной скорости. Ускорение свободного падения — $g$. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найдём формулу нахождения времени падения и скорости тела перед ударом о землю.
Способ 1
Сделаем рисунок и введём переменные:

Ось координат OY и уровень земли как начало отсчёта при падении тела.

Введём ось координат $OY$ и обозначим уровень земли за начало отсчёта.
Так как тело упало на землю (точка $D$), то координата $y$ будет равна нулю, начальная координата будет равна высоте падения $y_0 = h$. По условию начальная скорость равна $v_0 = v_{0y} = 0$.
Запишем уравнение координаты $y$ и уравнение проекции скорости на ось $OY$ для прямолинейного равноускоренного движения:

y = y_0 + v_{0y} \cdot t + \frac{a_y t^2}{2}

v_y = v_{0y} + a_y \cdot t

Выполним преобразования:

0 = h - \frac{g \cdot t_D^2}{2}

h = \frac{g \cdot t_D^2}{2}

Выразим искомое время падения $t_D$:

t_D^2 = \frac{2h}{g} \Rightarrow t_D = \sqrt{\frac{2h}{g}}

Теперь найдём скорость перед ударом:

v_y = 0 - g \cdot t

v_y = -g \cdot t

Распишем проекцию скорости на ось $OY$ в точке $D$:

v_{yD} = -g \cdot t_D

Подставим найденное значение $t_D$:

v_y = -g \cdot \sqrt{\frac{2h}{g}} = -\sqrt{2gh}

v_{yD} = -\sqrt{2gh}

v_D = |v_{yD}| = \sqrt{2gh}

Способ 2
Направим вниз ось $OY$, а начало отсчёта поместим в точку, в которой находилось тело изначально.

График проекции ускорения свободного падения.

Так как ось $OY$ направлена вертикально вниз, то проекция ускорения свободного падения на неё будет положительной, $y_0 = 0$, $y = h$, а $v_{0y}$ останется равной нулю.
В данном случае уравнение координаты $y$ и проекции скорости будут выглядеть следующим образом:

y = \frac{g \cdot t^2}{2}

v_y = g \cdot t