Сила упругости — одна из базовых сил в механике, с которой начинают разбирать задачи уже в школе. Она появляется при деформации тел и подчиняется простому закону — закону Гука. В этой статье разберём, как работает сила упругости, как правильно использовать формулу и как решать типовые задачи разного уровня сложности.

Что такое сила упругости

Значение силы упругости можно найти с помощью закона Гука:

F_{\text{упр}} = -kx

Где:
$k$ — коэффициент жесткости пружины, [Н/м];
$x$ — удлинение пружины, [м].
Минус в формуле обозначает направление силы упругости: она всегда будет направлена против удлинения. Это означает, что сила упругости стремится вернуть пружину в состояние покоя.

Закон Гука

Сила упругости, возникающая при деформации упругого тела (пружины, стержня, консоли, балки и т. д.), пропорциональна абсолютному значению изменения длины тела.

Подготовка к экзаменам в 100балльном репетиторе

Задание 1

В ходе лабораторной работы по изучению силы упругости ученики сжали брусок массой 1,2 кг двумя лёгкими пружинами. При нахождении бруска в положении равновесия левая пружина сжата на 5 см, а правая — на 4 см. Правая пружина действует на брусок с силой, модуль которой равен 15 Н. Определите жёсткость левой пружины. Ответ выразите в Н/м.

Дано:
$x_1 = 5\text{см} = 0{,}05$ м
$x_2 = 4$ см
$F_{y2} = 15$ Н
$k_1 — ?$
Так как пружины сжаты, то силы упругости направлены так, чтобы вернуть пружину в нерастянутое положение. Тело неподвижно, значит силы упругости равны по модулю:
$F_{y1} — F_{y2} = 0$
$F_{y1} = k_1 x_1$
$k_1 x_1 — F_{y2} = 0$
$k_1 x_1 = F_{y2}$
$k_1 = \frac{F_{y2}}{x_1}$
$k_1 = \frac{15}{0{,}05} = 300 \text{ Н/м}$
Ответ: 300 Н/м.

Задание 2

К небольшому кубику массой $M = 0{,}8$ кг, находящемуся на гладкой горизонтальной поверхности, с двух сторон прикрепили лёгкие пружины, как показано на рисунке.
К правой пружине прикладывают силу $F = 10$ Н, при этом система покоится.
Известно, что жёсткость левой пружины $k_1 = 200$ Н/м, правой — $k_2 = 250$ Н/м.
Каково удлинение правой пружины? Ответ укажите в метрах.

Запишем второй закон Ньютона для точки приложения силы $F$:
$F — F_{\text{упр2}} = ma$
Масса точки равна нулю, как и её ускорение, поэтому:
$F = F_{\text{упр2}}$
$F_{\text{упр2}} = k_2 x_2$
$x_2 = \frac{F}{k_2} = \frac{10}{250} = 0{,}04 \text{ м}$
Ответ: 0,04 м.

Задание 3

Два одинаковых груза массой $m = 0{,}5$ кг каждый, скреплённые между собой лёгкой пружиной с жёсткостью $k = 150$ Н/м, движутся по неподвижному гладкому клину с углом наклона $\alpha = 30°$. Верхний груз соединён невесомой нерастяжимой нитью, перекинутой через идеальный блок, с бруском массой $M$. Найдите $M$, если длина пружины в нерастянутом состоянии $l_0 = 16$ см, а при движении грузов постоянна и равна $l = 20$ см. Сделайте рисунок с указанием сил, действующих на тела. Обоснуйте применимость используемых законов к решению задачи.

Предположим, что груз $M$ движется вниз, тогда грузики $m$ движутся вверх по горке.
$|\vec{a_1}| = |\vec{a_2}| = |\vec{a_3}| = a$
$|\vec{F_{y1}}| = |\vec{F_{y2}}| = F_y$
$|\vec{T_1}| = |\vec{T_2}| = T$
Сила упругости: $F_y = kx$, $x = l — l_0$
$F_y = k(l — l_0) = 150 \cdot (0{,}2 — 0{,}16) = 6 \text{ Н}$
По второму закону Ньютона для грузиков $m$:
$OX$: $F_y — mg\sin\alpha = ma \Rightarrow a = \frac{F_y}{m} — g\sin\alpha = \frac{6}{0{,}5} — 10\sin 30° = 12 — 5 = 7 \text{ м/с}^2$
— направление ускорения выбрано верно.
$OX$: $T — mg\sin\alpha — F_y = ma$
$T = mg\sin\alpha + F_y + ma$
Для груза $M$:
$OY$: $T — Mg = -Ma$
Подставим ранее полученное выражение для силы натяжения:
$mg\sin\alpha + F_y + ma — Mg = -Ma$
$m(g\sin\alpha + a) + F_y = M(g — a)$
Откуда масса груза:
$M = \frac{m(g\sin\alpha + a) + F_y}{g — a} = \frac{0{,}5 \cdot (10\sin 30° + 7) + 6}{10 — 7} = 4 \text{ кг}$
Ответ: 4 кг.
Обоснование:
Рассмотрим систему отсчёта, связанную с Землёй. Будем считать её инерциальной.
Так как все тела движутся поступательно, используем для них модель материальной точки.
В ИСО для материальных точек распишем 2-й закон Ньютона.
Так как нить невесома, а блок идеален, модуль силы натяжения по всей её длине одинаковый.
Так как нить нерастяжима, а длина пружины при движении грузов постоянна, ускорения тел равны по модулю.
Так как пружина невесома, силы упругости, действующие на грузики, одинаковы по модулю.

Заключение

Сила упругости — базовое понятие механики, которое встречается почти в каждой второй задаче. Закон Гука позволяет быстро находить силы и деформации, если система остаётся в пределах упругих изменений.
Главное, что нужно запомнить:
сила упругости всегда направлена против деформации;
она пропорциональна изменению длины;
в задачах часто используется условие равновесия или второй закон Ньютона.
Уверенное понимание этих принципов значительно упрощает решение задач и помогает быстрее ориентироваться в теме механики.