Движение по окружности — очень важная тема в школьном курсе физики. На ЕГЭ оно может встретиться как в отдельных заданиях (1, 5, 6, 22 и 26), так и внутри более сложных задач по механике. В этой теме важно понимать не только формулы, но и физический смысл величин: угловой скорости, периода, частоты, а также связь линейного и вращательного движения.
Угловая скорость, период и частота
Тело движется по окружности радиусом $R$ из точки $A$ в точку $B$ и за некоторое время поворачивается на угол $\varphi$.
Чтобы понять, как быстро поворачивается тело, нужно ввести понятие угловой скорости:
$\omega = \frac{\varphi}{t}$
При полном обороте тело возвращается в ту же точку, то есть поворачивается на угол 360°, что соответствует $2\pi$ в радианной мере. Время, за которое тело проходит один оборот, обозначается как период ($T$).
В таком случае угловая скорость будет иметь формулу:
$\omega = \frac{2\pi}{T}$
Так как радианы — безразмерная величина, то угловая скорость измеряется в $\frac{1}{\text{с}} = \text{с}^{-1}$.
Частота ($\nu$) — физическая величина, равная количеству полных оборотов за единицу времени.
Если расписывать размерность частоты как отношение количества оборотов ко времени, то получается такая же размерность $\text{с}^{-1}$. Но в физике принято использовать в качестве размерности частоты Герцы [Гц], чтобы не путать её с угловой скоростью.
Из определения частоты следует, что она обратно пропорциональна периоду:
$\nu = \frac{1}{T}$
Пример
Человек сделал 6 оборотов вокруг своей оси за 12 секунд. Найдём период и частоту вращения.
Используем формулы:
$T = \frac{t}{N} = \frac{12}{6} = 2 \text{ с}$
$\nu = \frac{N}{t} = \frac{6}{12} = 0{,}5 \text{ Гц}$
Где:
$N$ — количество оборотов, безразмерная величина;
$t$ — промежуток времени, [с].
Связь угловой и линейной скорости
Установим связь между угловой скоростью и частотой:
$\omega = 2\pi\nu$
Пусть материальная точка движется по окружности с линейной скоростью $v$:
Рассмотрим полный оборот и распишем формулу модуля скорости как отношение пройденного пути ко времени:
$v = \frac{l_{\text{окр}}}{t}$
Где:
$l_{\text{окр}}$ — длина окружности, равная $2\pi R$;
$t$ — время, за которое материальная точка пройдёт один оборот, [с].
Так как время, за которое тело проходит один оборот, равно периоду, подставим $T$ вместо времени и получим следующую формулу:
$v = \frac{2\pi R}{T}$
Если вместо $\frac{2\pi}{T}$ подставить угловую скорость, получим:
$v = \omega R$
При равномерном движении тела по окружности модуль его линейной скорости не меняется, но направление скорости меняется постоянно.
Линейная скорость тела всегда направлена по касательной к окружности:
Ускорения при движении по окружности
Причиной изменения направления скорости и постоянства его модуля является центростремительное ускорение $a_{\text{ц}}$, направленное к центру окружности.
Помимо центростремительного ускорения, существует тангенциальное ускорение, которое меняет модуль скорости тела. Оно всегда будет параллельно с линейной скоростью, обозначается как $a_\tau$.
Для тангенциального ускорения формула в рамках ЕГЭ отсутствует.
Таким образом, во время движения по окружности тело имеет два вида ускорения:
- центростремительное, меняющее направление скорости;
- тангенциальное, меняющее значение модуля скорости.
Векторной суммой этих ускорений будет являться общее ускорение тела:
Так как тангенциальное и центростремительное ускорения перпендикулярны друг другу, по теореме Пифагора имеем:
$a^2 = a_{\text{ц}}^2 + a_\tau^2$
Формула центростремительного ускорения имеет вид:
$a_{\text{ц}} = \frac{v^2}{R} = \omega^2 R$
Связь величин в механических системах
Рассмотрим несколько типичных сценариев для задач на вращение.
Пример 1
Представим велосипедную цепь, соединяющую две шестерёнки разных радиусов. Шестерёнка слева движется со скоростью $v_1$, шестерёнка справа — со скоростью $v_2$.
Если цепь не проскальзывает и не разрывается, то эти линейные скорости равны:
$|\overrightarrow{v_1}| = |\overrightarrow{v_2}| = v$
Пример 2
Разберём случай, в котором угловые скорости одинаковы. Представим вращающийся диск, на котором выделены точки $A$ и $B$.
При вращении диска эти точки будут поворачиваться на один и тот же угол, то есть угловые скорости точек равны. Линейные скорости точек будут зависеть только от положения на окружности: чем дальше точка от центра, тем больше её скорость:
$\omega_A = \omega_B = \omega$
$\frac{v_A}{v_B} = \frac{\omega R_A}{\omega R_B} = \frac{R_A}{R_B}$
С центростремительным ускорением будет наблюдаться схожая картина:
$\frac{a_A}{a_B} = \frac{\omega^2 R_A}{\omega^2 R_B} = \frac{R_A}{R_B}$
Пример 3
Нарисуем две шестерёнки часов, двигающиеся вместе. Они крутятся в противоположных направлениях. При этом их линейные скорости, как и в случае с велосипедной цепью, будут равны.
Итог
Движение по окружности описывается через угловые и линейные величины, которые тесно связаны между собой. Угловая скорость, период и частота характеризуют вращение тела, а линейная скорость показывает движение по траектории.
При равномерном движении по окружности скорость по модулю постоянна, но её направление постоянно меняется, поэтому возникает центростремительное ускорение, направленное к центру окружности. Если скорость тела меняется по модулю, появляется также тангенциальное ускорение.
В задачах важно уметь различать ситуации, где сохраняется линейная скорость, и где — угловая, а также правильно применять связи между ними в механических системах.
Авторы статьи
