Движение по окружности: основные формулы и графики для ЕГЭ по физике

Движение по окружности — очень важная тема в школьном курсе физики. На ЕГЭ оно может встретиться как в отдельных заданиях (1, 5, 6, 22 и 26), так и внутри более сложных задач по механике. В этой теме важно понимать не только формулы, но и физический смысл величин: угловой скорости, периода, частоты, а также связь линейного и вращательного движения. [i]

Угловая скорость, период и частота

Тело движется по окружности радиусом $R$ из точки $A$ в точку $B$ и за некоторое время поворачивается на угол $φ$ . [i]

Движение тела по окружности радиусом R из точки А в точку В.

Чтобы понять, как быстро поворачивается тело, нужно ввести понятие угловой скорости: [i]

ω = \frac{φ}{t}

При полном обороте тело возвращается в ту же точку, то есть поворачивается на угол 360°, что соответствует $2 π$ в радианной мере. Время, за которое тело проходит один оборот, обозначается как период ( $T$ ).
В таком случае угловая скорость будет иметь формулу: [i]

ω = \frac{2 π}{T}

Так как радианы — безразмерная величина, то угловая скорость измеряется в $\frac{1}{с} = с^{- 1}$ .
Частота ( $ν$ ) — физическая величина, равная количеству полных оборотов за единицу времени.
Если расписывать размерность частоты как отношение количества оборотов ко времени, то получается такая же размерность $с^{- 1}$ . Но в физике принято использовать в качестве размерности частоты Герцы [Гц], чтобы не путать её с угловой скоростью.
Из определения частоты следует, что она обратно пропорциональна периоду: [i]

ν = \frac{1}{T}

Пример
Человек сделал 6 оборотов вокруг своей оси за 12 секунд. Найдём период и частоту вращения.
Используем формулы: [i]

T = \frac{t}{N} = \frac{12}{6} = 2 с

ν = \frac{N}{t} = \frac{6}{12} = 0, 5 Гц

Где:
$N$ — количество оборотов, безразмерная величина;
$t$ — промежуток времени, [с]. [i]

Связь угловой и линейной скорости

Установим связь между угловой скоростью и частотой: [i]

ω = 2 π ν

Пусть материальная точка движется по окружности с линейной скоростью $v$ : [i]

Материальная точка движется по окружности с линейной скоростью.

Рассмотрим полный оборот и распишем формулу модуля скорости как отношение пройденного пути ко времени: [i]

v = \frac{l_{окр}}{t}

Где:
$l_{окр}$ — длина окружности, равная $2 π R$ ;
$t$ — время, за которое материальная точка пройдёт один оборот, [с].
Так как время, за которое тело проходит один оборот, равно периоду, подставим $T$ вместо времени и получим следующую формулу: [i]

v = \frac{2 π R}{T}

Если вместо $\frac{2 π}{T}$ подставить угловую скорость, получим: [i]

v = ω R

При равномерном движении тела по окружности модуль его линейной скорости не меняется, но направление скорости меняется постоянно.
Линейная скорость тела всегда направлена по касательной к окружности: [i]

Линейная скорость тела направлена по касательной к окружности.

Подготовка к экзаменам в 100балльном репетиторе

Ускорения при движении по окружности

Причиной изменения направления скорости и постоянства его модуля является центростремительное ускорение $a_{ц}$ , направленное к центру окружности. [i]

Помимо центростремительного ускорения, существует тангенциальное ускорение, которое меняет модуль скорости тела. Оно всегда будет параллельно с линейной скоростью, обозначается как $a_{τ}$ .
[i]

Для тангенциального ускорения формула в рамках ЕГЭ отсутствует.
Таким образом, во время движения по окружности тело имеет два вида ускорения:
центростремительное, меняющее направление скорости;
тангенциальное, меняющее значение модуля скорости.
Векторной суммой этих ускорений будет являться общее ускорение тела:
[i]

Так как тангенциальное и центростремительное ускорения перпендикулярны друг другу, по теореме Пифагора имеем:
[i]

a^{2} = a_{ц}^{2} + a_{τ}^{2}

Формула центростремительного ускорения имеет вид: [i]

a_{ц} = \frac{v^{2}}{R} = ω^{2} R

Связь величин в механических системах

Рассмотрим несколько типичных сценариев для задач на вращение.
Пример 1
Представим велосипедную цепь, соединяющую две шестерёнки разных радиусов. Шестерёнка слева движется со скоростью $v_{1}$ , шестерёнка справа — со скоростью $v_{2}$ . [i]

Две шестеренки с разной скоростью движения.

Если цепь не проскальзывает и не разрывается, то эти линейные скорости равны: [i]

| \vec{v_{1}} | = | \vec{v_{2}} | = v

Пример 2
Разберём случай, в котором угловые скорости одинаковы. Представим вращающийся диск, на котором выделены точки $A$ и $B$ . [i]

вращающийся диск, на котором выделены точки А и В.

При вращении диска эти точки будут поворачиваться на один и тот же угол, то есть угловые скорости точек равны. Линейные скорости точек будут зависеть только от положения на окружности: чем дальше точка от центра, тем больше её скорость: [i]

ω_{A} = ω_{B} = ω

\frac{v_{A}}{v_{B}} = \frac{ω R_{A}}{ω R_{B}} = \frac{R_{A}}{R_{B}}

С центростремительным ускорением будет наблюдаться схожая картина: [i]

\frac{a_{A}}{a_{B}} = \frac{ω^{2} R_{A}}{ω^{2} R_{B}} = \frac{R_{A}}{R_{B}}

Пример 3
Нарисуем две шестерёнки часов, двигающиеся вместе. Они крутятся в противоположных направлениях. При этом их линейные скорости, как и в случае с велосипедной цепью, будут равны. [i]

Две шестерёнки часов, двигающиеся вместе.

Итог

Движение по окружности описывается через угловые и линейные величины, которые тесно связаны между собой. Угловая скорость, период и частота характеризуют вращение тела, а линейная скорость показывает движение по траектории.
При равномерном движении по окружности скорость по модулю постоянна, но её направление постоянно меняется, поэтому возникает центростремительное ускорение, направленное к центру окружности. Если скорость тела меняется по модулю, появляется также тангенциальное ускорение.
В задачах важно уметь различать ситуации, где сохраняется линейная скорость, и где — угловая, а также правильно применять связи между ними в механических системах. [i]