Тригонометрия

В физике удобно начинать с геометрического определения через прямоугольный треугольник. Представь прямоугольный треугольник: два катета $a$ и $b$ и гипотенуза $c$. Угол $\alpha$ — один из острых углов треугольника.

Синус угла $\alpha$ — отношение противолежащего этому углу катета к гипотенузе.

Косинус угла $\alpha$ — отношение прилежащего к этому углу катета к гипотенузе.

Тангенс угла $\alpha$ — отношение противолежащего катета к прилежащему. Тангенс также можно выразить через синус и косинус.

Котангенс угла $\alpha$ — отношение прилежащего катета к противолежащему. Котангенс также можно выразить через косинус и синус, а также как величину, обратную тангенсу.

Возведём синус и косинус угла $\alpha$ в квадрат и сложим их:

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника:

Следовательно:

Разделив обе части уравнения на $c^2$, получим:

Это соотношение называется основным тригонометрическим тождеством. Оно позволяет, зная синус угла, найти косинус (и наоборот) и часто используется в физике, например, при нахождении полной механической энергии колебаний или при определении амплитуды результирующего вектора.

В физике часто встречаются углы 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 180°, 270° и 360°. Для них значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса нужно знать наизусть.

Запомнить синусы этих углов очень легко с помощью простого правила. Рассмотрим углы от 0° до 90°. Пронумеруем их от $n = 0$ до $n = 4$.

При $n = 0$: $\sin 0° = \dfrac{\sqrt{0}}{2} = 0$.

При $n = 1$: $\sin 30° = \dfrac{\sqrt{1}}{2} = \dfrac{1}{2}$.

При $n = 2$: $\sin 45° = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$.

При $n = 3$: $\sin 60° = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

При $n = 4$: $\sin 90° = \dfrac{\sqrt{4}}{2} = \dfrac{2}{2} = 1$.

Значения косинуса для этих же углов идут в обратном порядке:

В физике часто нужно определять знак проекции вектора. Для этого полезно представлять тригонометрическую окружность. Угол отсчитывается от положительного направления оси $Ox$ против часовой стрелки.

Первая четверть (0°–90°): $\sin > 0$, $\cos > 0$, $\operatorname{tg} > 0$, $\operatorname{ctg} > 0$.

Вторая четверть (90°–180°): $\sin > 0$, $\cos < 0$, $\operatorname{tg} < 0$, $\operatorname{ctg} < 0$.

Третья четверть (180°–270°): $\sin < 0$, $\cos < 0$, $\operatorname{tg} > 0$, $\operatorname{ctg} > 0$.

Четвёртая четверть (270°–360°): $\sin < 0$, $\cos > 0$, $\operatorname{tg} < 0$, $\operatorname{ctg} < 0$.

В физике угол может быть не только острым, но и тупым (например, угол между силой и осью). Знак синуса или косинуса определит знак проекции вектора.

В физике углы часто записывают в радианах. Основные соотношения:

$\pi$ радиан $= 180°$

$\dfrac{\pi}{2} = 90°$

$\dfrac{\pi}{3} = 60°$

$\dfrac{\pi}{4} = 45°$

$\dfrac{\pi}{6} = 30°$

Для упрощения тригонометрических функций от аргументов вида $\left(\dfrac{\pi}{2} \pm \alpha\right)$, $(\pi \pm \alpha)$, $\left(\dfrac{3\pi}{2} \pm \alpha\right)$, $(2\pi \pm \alpha)$ существуют формулы приведения. Правила запоминания:

• Если аргумент содержит $\dfrac{\pi}{2}$ или $\dfrac{3\pi}{2}$ (то есть 90° или 270°), то функция меняется на кофункцию: $\sin \leftrightarrow \cos$, $\operatorname{tg} \leftrightarrow \operatorname{ctg}$.
• Если аргумент содержит $\pi$ или $2\pi$ (то есть 180° или 360°), то функция не меняется.
• Знак перед приведённой функцией определяется знаком исходной функции в соответствующей четверти, при этом угол $\alpha$ острый.

Примеры для синуса и косинуса:

В физике эти формулы применяются, например, при анализе колебаний, когда начальная фаза $\varphi_0$ сдвинута относительно нуля, или при нахождении проекций векторов в нестандартных системах координат.

В задачах по физике эти формулы встречаются реже, но в некоторых случаях (например, в оптике при интерференции, в механике при рассмотрении движения под углом) они могут понадобиться.

Синус двойного угла:

Косинус двойного угла имеет три формы записи, которые равносильны:

Самое частое применение тригонометрии в задачах ЕГЭ по физике — это разложение вектора на проекции. Пусть дан вектор $a$ с модулем $|a|$. Он образует угол $\alpha$ с горизонтальной осью $Ox$.

Проекция вектора на ось $Ox$: $a_x = |\vec{a}| \cdot \cos\alpha$

Проекция вектора на ось $Oy$: $a_y = |\vec{a}| \cdot \sin\alpha$

Если угол отсчитывается от горизонтали, но вектор направлен вверх, то обе проекции положительны. Если вектор направлен вниз, то проекция на ось $Oy$ будет отрицательной:

Если угол задан не с горизонталью, а с вертикалью, то проекции меняются местами. Пусть вектор $c$ образует угол $\gamma$ с вертикальной осью $Oy$. Тогда:

проекция на ось $Ox$: $c_x = -|\vec{c}| \cdot \sin\gamma$ (знак «минус», если вектор направлен влево);

проекция на ось $Oy$: $c_y = |\vec{c}| \cdot \cos\gamma$.

Важно помнить: модуль вектора всегда положителен. Знак проекции определяется направлением вектора относительно оси. Если направление вектора совпадает с направлением оси, проекция положительна, если противоположно — отрицательна. Если вектор перпендикулярен оси, его проекция на эту ось равна нулю.

Модуль вектора через его проекции находится по теореме Пифагора:

1. Путают синус и косинус. Если угол отсчитывается от горизонтали, проекция на $X$ — это косинус, на $Y$ — синус.
2. Забывают про знак. Без рисунка легко ошибиться, поэтому лучше всегда делать хотя бы схему.
3. Получают значения больше 1 по модулю. Это невозможно: синус и косинус всегда лежат в диапазоне от $-1$ до $1$.
4. Путают градусы и радианы. В формулах для колебаний аргумент почти всегда в радианах.
5. Возникают трудности с тупыми углами. Не пытайся втиснуть тупой угол в прямоугольный треугольник. Используй тригонометрическую окружность или формулы приведения. Помни, что $\sin$ углов от 90° до 180° положителен, а $\cos$ — отрицателен.

В курсе физики 11-го класса графики тригонометрических функций используют при изучении механических и электромагнитных колебаний, а также волновых процессов. Понимание формы графиков $y = \sin x$ и $y = \cos x$, а также их преобразований, помогает интерпретировать зависимости от времени: координаты, скорости, ускорения, заряда, силы тока и напряжения.

График функции $y = sin x$

Синусоида — это волнообразная кривая, которая проходит через начало координат. Функция $y = \sin x$ является нечётной, то есть $\sin(-x) = -\sin x$. Это означает, что график симметричен относительно начала координат.

Основные характеристики графика $y = \sin x$:

• Область определения: все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$).
• Область значений: от −1 до 1 ($y \in [-1;, 1]$).
• Период: $T = 2\pi$ (через каждые $2\pi$ график полностью повторяется).
• Нули функции: $\sin x = 0$ при $x = \pi \cdot n$, где $n$ — целое число.
• Максимумы: $\sin x = 1$ при $x = \dfrac{\pi}{2} + 2\pi \cdot n$.
• Минимумы: $\sin x = -1$ при $x = -\dfrac{\pi}{2} + 2\pi \cdot n$.
• Функция возрастает на интервалах $\left(-\dfrac{\pi}{2} + 2\pi \cdot n; \quad \dfrac{\pi}{2} + 2\pi \cdot n\right)$.
• Функция убывает на интервалах $\left(\dfrac{\pi}{2} + 2\pi \cdot n; \quad \dfrac{3\pi}{2} + 2\pi \cdot n\right)$.

График функции $y = cos x$

Косинусоида по форме похожа на синусоиду, но сдвинута по горизонтали. Функция $y = \cos x$ является чётной, то есть $\cos(-x) = \cos x$. Это означает, что график симметричен относительно оси ординат (оси $Y$).

Основные характеристики графика $y = cos x$:

• Область определения: все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$).
• Область значений: от −1 до 1 ($y \in [-1;, 1]$).
• Период: $T = 2\pi$.
• Нули функции: $\cos x = 0$ при $x = \dfrac{\pi}{2} + \pi \cdot n$.
• Максимумы: $\cos x = 1$ при $x = 2\pi \cdot n$.
• Минимумы: $\cos x = -1$ при $x = \pi + 2\pi \cdot n$.
• Функция убывает на интервалах $(0 + 2\pi \cdot n; \quad \pi + 2\pi \cdot n)$.
• Функция возрастает на интервалах $(\pi + 2\pi \cdot n; \quad 2\pi + 2\pi \cdot n)$.

Очень часто на ЕГЭ по физике появляются графики модулей или квадратов тригонометрических функций. Важно уметь их правильно строить и определять.

Квадрат тригонометрической функции

При возведении в квадрат часть функции, которая находится ниже оси абсцисс, отображается в верхнюю полуплоскость. При подходе к оси $Ox$ функция ведёт себя плавно, без острых углов.

Модуль тригонометрической функции

Если взять тригонометрическую функцию под знак модуля, её часть, расположенная ниже оси абсцисс, отражается вверх — в верхнюю полуплоскость. Важно, что вблизи оси $Ox$ такая функция ведёт себя «резко»: график образует изломы.

Теперь тригонометрия — это не набор формул, а удобный инструмент для решения задач по физике. Понимание связи между синусом, косинусом и геометрией помогает быстрее разбираться в задачах на векторы и колебания. Эти знания позволяют уверенно работать с проекциями, корректно учитывать знаки и читать графики.

Теперь ты умеешь:

• находить проекции векторов через синус и косинус;
• применять основное тригонометрическое тождество;
• использовать табличные значения углов;
• определять знаки функций по четвертям;
• анализировать графики $\sin$ и $\cos$.

Для закрепления реши 10–15 задач на проекции и колебания — это поможет довести навыки до автоматизма.