Движение заряженных частиц в магнитном поле

При движении любой заряженной частицы в магнитном поле на неё действует сила Лоренца.

Величина силы Лоренца определяется по формуле:

$F_{\text{л}} = q \cdot B \cdot v \cdot \sin\alpha$

Где:

$v$ — скорость движения точечного заряда, [м/с];
$\alpha$ — угол между вектором скорости частицы и вектором магнитной индукции, [град].

Направление силы Лоренца определяется по правилу левой руки, при этом она всегда перпендикулярна вектору магнитной индукции и скорости частицы.

Когда угол между вектором магнитной индукции и скоростью частицы равен 90°, частица движется по окружности.

По второму закону Ньютона:

$F_{\text{л}} = m a_{\text{ц}}$

Воспользуемся формулой силы Лоренца и центростремительного ускорения:

$F_{\text{л}} = q B v \cdot \sin 90^\circ = q B v$

$a_{\text{ц}} = \frac{v^2}{R}$

где $R$ — радиус окружности.

$q B v = m \frac{v^2}{R}$

Из полученной формулы выразим радиус:

$R = \frac{m v}{B q}$

Период обращения частицы при движении с постоянной скоростью можно найти по формуле: $T = \frac{S}{v}$.

В данном случае путь равен длине окружности $S = 2 \pi R$, тогда период:

$T = \frac{2 \pi R}{v}$

Подставив ранее полученную формулу радиуса окружности, получим:

$T = \frac{2 \pi m}{B q}$

Как видно из формулы, период обращения не зависит от скорости частицы.

Когда угол $\alpha$ между вектором магнитной индукции и скоростью частицы равен 0°, то есть частица летит параллельно линиям магнитной индукции, траекторией движения частицы будет являться прямая.

Это происходит из-за того, что при $\alpha = 0^\circ$ сила Лоренца $F_{\text{л}} = q B v \cdot \sin 0^\circ = 0$.

Когда угол между вектором магнитной индукции и скоростью частицы не равен 90° и 0°, частица движется по спирали.

В этом случае нужно разложить скорость частицы $v$ на две проекции:

• $v_{\perp}$ — направлена перпендикулярно вектору индукции;

• $v_{\parallel}$ — направлена параллельно вектору индукции.

$v_{\perp} = v \cdot \sin\alpha$ отвечает за вращательное движение.

$v_{\parallel} = v \cdot \cos\alpha$ отвечает за равномерный перенос частицы вдоль линии индукции.
За счёт этой составляющей скорости окружность вытягивается в спираль.

По второму закону Ньютона:

$F_{\text{л}} = m a_{\text{ц}}$

Воспользуемся формулой силы Лоренца и центростремительного ускорения:

$F_{\text{л}} = q B v_{\perp} = q B v \cdot \sin\alpha$

$a_{\text{ц}} = \frac{v_{\perp}^2}{R} = \frac{v^2 \cdot \sin^2 \alpha}{R}$

Где $R$ — радиус окружности.

$qBv \cdot \sin \alpha = m \cdot \frac{v^2 \cdot \sin^2 \alpha}{R}$

Из полученной формулы выразим радиус:

$R = \frac{mv \cdot \sin \alpha}{Bq}$

Период обращения частицы при движении с постоянной скоростью можно найти по формуле:

$T = \frac{S}{v}$

В данном случае путь равен длине окружности $S = 2\pi R$, тогда период:

$T = \frac{2\pi R}{v_{\perp}} = \frac{2\pi R}{v \cdot \sin \alpha}$

Подставив формулу радиуса окружности, получим:

$T = \frac{2\pi m}{Bq}$

Как видно из формулы, период обращения не зависит от скорости частицы и угла между скоростью и вектором индукции.

Расстояние, на которое смещается частица вдоль линии индукции за один оборот, называется шаг спирали и обозначается $h$.

По формуле равномерного движения $h = v_{\parallel} T$ получим:

$h = v \cdot \cos \alpha \cdot \frac{2\pi m}{Bq} = \frac{2\pi mv \cdot \cos \alpha}{Bq}$

Задание 1

В однородном магнитном поле, образованном между полюсами постоянного магнита, под действием силы Лоренца по окружности движется протон. После замены магнита по такой же траектории с такой же скоростью стала двигаться α-частица. Определите, как при этом изменились модуль индукции магнитного поля и модуль силы Лоренца. Для каждой величины определите соответствующий характер изменения:

1. увеличилась,
2. уменьшилась,
3. не изменилась.

Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем таблице. Цифры в ответе могут повторяться.

Задание 2

В однородном магнитном поле, модуль вектора магнитной индукции которого B, под действием силы Лоренца движется по окружности радиусом R заряженная частица массой m, обладающая зарядом q. Силой тяжести, действующей на заряд, пренебречь. Установите соответствие между физическими величинами и формулами, по которым их можно рассчитать. К каждой позиции первого столбца подберите соответствующую позицию второго и запишите в таблицу выбранные цифры под соответствующими буквами.

Задание 3

В ходе лабораторной работы были собраны две экспериментальные установки. В первой установке положительно заряженная частица влетает в однородное электрическое поле так, что вектор скорости $\vec{v}_0$ направлен вдоль вектора напряжённости поля $\vec{E}$ (рис. 1). Во второй установке вектор скорости $\vec{v}_0$ такой же частицы перпендикулярен линиям индукции магнитного поля $\vec{B}$ (рис. 2). Установите соответствие между экспериментальной установкой и траекторией движения частицы в ней. К каждой позиции первого столбца подберите соответствующую позицию второго и запишите в таблицу выбранные цифры под соответствующими буквами.

Задание 4

В первой экспериментальной установке положительно заряженная частица влетает в однородное электрическое поле так, что вектор $\vec{v}_0$ перпендикулярен вектору напряжённости электрического поля $\vec{E}$ (рис. 1). Во второй экспериментальной установке вектор $\vec{v}_0$ такой же частицы направлен под углом к вектору индукции магнитного поля $\vec{B}$ (рис. 2). По каким траекториям движутся частицы в этих установках? Силу тяжести не учитывать.

К каждой позиции первого столбца подберите соответствующую позицию из второго столбца и запишите в таблицу выбранные цифры под соответствующими буквами.

Задание 5

В рамку с областью действия магнитной индукции $\vec{B}$, равной B = 0,12 Тл, в точке 1 влетает частица со скоростью $6 \cdot 10^5$ м/с, а вылетает в точке 2 (см. рисунок). Чему равно отношение заряда частицы к её массе $\frac{q}{m}$, если расстояние D = 25 см?

Дано:

$B = 0,12$ Тл

$v = 6 \cdot 10^5$ м/с

$D = 25$ см $= 0,25$ м

$\frac{q}{m}$ — ?