Введение
Когда мы изучаем движение тел, чаще всего используем скорость и ускорение. Эти величины хорошо работают, пока тело движется спокойно. Но как только речь заходит о столкновениях, ударах и резких взаимодействиях, привычных инструментов становится недостаточно.
Именно здесь появляется одна из ключевых величин механики — импульс.
Что такое импульс и зачем он нужен
$\vec{p} = m\vec{v}$
Импульс тела всегда сонаправлен скорости и измеряется в [$\text{кг} \cdot \frac{\text{м}}{\text{с}}$].
Как сила связана с импульсом
Чтобы понять, как меняется импульс, обратимся ко второму закону Ньютона. Запишем его, учитывая, что на материальную точку, находящуюся в инерциальной системе отсчета, действует сила F:
$\vec{F} = m\vec{a}$
По определению ускорения:
$\vec{a} = \frac{\vec{v}_{\text{к}} − \vec{v}_{\text{н}}}{t}$
Подставим ускорение во второй закон Ньютона:
$\vec{F} = m \frac{\vec{v}_{\text{к}} − \vec{v}_{\text{н}}}{t}$
Выполним преобразования и получим формулу импульса силы:
$\vec{F} \cdot t = \Delta \vec{p}$
Таким образом, если к телу приложить силу, равную $0$, то изменение импульса со временем будет отсутствовать. Следовательно, тело будет покоиться или двигаться с постоянной скоростью.
Когда импульс сохраняется
Чтобы применять закон сохранения импульса, важно понимать, что такое замкнутая система.
Хороший пример — космонавт и ракета в открытом космосе, находящиеся далеко от других объектов. В этом случае их взаимодействие происходит только между ними, и внешние силы практически не влияют на систему. Поэтому такую систему можно считать замкнутой.
Внутренние и внешние силы
Чтобы не путаться, важно разделять два типа сил:
Внутренние силы — это силы взаимодействия между телами замкнутой системы. Например, сила взаимодействия космонавта и ракеты.
Внешние силы — это силы, в отсутствии которых система была бы замкнутой. Например, притяжение планеты или сопротивление воздуха.
Виды ударов
Хотя закон сохранения импульса выполняется во всех замкнутых системах, сами столкновения могут происходить по-разному.
Примеры решения задач
Задание 1
Масса вертолёта в 15 раз меньше массы самолёта. Известно, что отношение величины импульса самолета к величине импульса вертолета равно 31,5. Во сколько раз скорость самолёта больше скорости вертолёта?
$m_в = \frac{m_с}{15} \Rightarrow \frac{m_с}{m_в} = 15$.
$\frac{p_с}{p_в} = 31,5$; $\frac{m_с v_с}{m_в v_в} = 31,5$, подставим в данное уравнение отношение масс самолёта и вертолёта:
$15 \frac{v_с}{v_в} = 31,5 \Rightarrow \frac{v_с}{v_в} = 2,1$.
Ответ: 2,1.
Задание 2
К маленькой бусинке массой 20 г прикладывают силу F = 1,25 Н, под действием которой она движется по гладкой горизонтальной поверхности. Определите величину изменения импульса бусинки за 5 с движения. Ответ дайте в $\text{кг} \cdot \frac{\text{м}}{\text{с}}$.
$m = 0,02$ кг.
$F = 1,25$ Н.
$t = 5$ с.Воспользуемся формулой для импульса силы:
$\Delta p = F \cdot t = 1,25 \cdot 5 = 6,25 \text{ кг} \cdot \frac{\text{м}}{\text{с}}$.Ответ: $6,25 \text{ кг} \cdot \frac{\text{м}}{\text{с}}$.
Задание 3
На шайбу, находящуюся на столе, действуют две горизонтальные силы (см. рисунок, вид сверху). За какое время проекция импульса шайбы на ось х увеличится на $\Delta p = 120 \text{ кг} \cdot \frac{\text{м}}{\text{с}}$? Ответ выразите в секундах.
$\Delta p = 120 \text{ кг} \cdot \frac{\text{м}}{\text{с}}$
Сложим векторы по правилу треугольника:
$F_{\text{сумм}} = 3 \cdot 20 = 60$ Н.
$F_{\text{сумм}} t = \Delta p \Rightarrow t = \frac{\Delta p}{F_{\text{сумм}}} = \frac{120}{60} = 2$ с.
Ответ: 2 с.
Задание 4
Два маленьких шарика движутся по горизонтальной поверхности. На рисунке представлены векторы импульсов шариков (вид сверху). Известно, что модуль импульса первого шарика $p_1 = 12 \text{ кг} \cdot \frac{\text{м}}{\text{с}}$, второго — $p_2 = 5 \text{ кг} \cdot \frac{\text{м}}{\text{с}}$. Чему равен модуль импульса системы, состоящей из этих двух шариков, после их абсолютно неупругого удара? Ответ дайте в $\text{кг} \cdot \frac{\text{м}}{\text{с}}$.
При абсолютно неупругом ударе тела после взаимодействия движутся как единое целое.
Так как система тел изолирована, суммарный импульс тел после взаимодействия будет равен импульсу тел до взаимодействия.
$p_{\text{нач}} = p_{\text{кон}} = \sqrt{p_1^2 + p_2^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{169} = 13 \text{ кг} \cdot \frac{\text{м}}{\text{с}}$.
Ответ: 13 $\text{кг} \cdot \frac{\text{м}}{\text{с}}$.
Итог
Импульс — это удобный инструмент, который позволяет:
- описывать движение при ударах и столкновениях;
- связывать силу и изменение движения;
- использовать закон сохранения в замкнутых системах.
Вся тема строится в логическую цепочку:
второй закон Ньютона → изменение импульса → отсутствие внешних сил → сохранение импульса → применение к столкновениям.
Именно поэтому импульс занимает центральное место в задачах на взаимодействие тел.
