Импульс в физике: формулы, закон сохранения и задачи с решениями

Введение

Когда мы изучаем движение тел, чаще всего используем скорость и ускорение. Эти величины хорошо работают, пока тело движется спокойно. Но как только речь заходит о столкновениях, ударах и резких взаимодействиях, привычных инструментов становится недостаточно.
Именно здесь появляется одна из ключевых величин механики — импульс. [i]

Что такое импульс и зачем он нужен

$\vec{p} = m \vec{v}$
Импульс тела всегда сонаправлен скорости и измеряется в [ $кг \cdot \frac{м}{с}$ ]. [i]

Как сила связана с импульсом

Чтобы понять, как меняется импульс, обратимся ко второму закону Ньютона. Запишем его, учитывая, что на материальную точку, находящуюся в инерциальной системе отсчета, действует сила F:
$\vec{F} = m \vec{a}$
По определению ускорения:
$\vec{a} = \frac{{\vec{v}}_{к} - {\vec{v}}_{н}}{t}$
Подставим ускорение во второй закон Ньютона:
$\vec{F} = m \frac{{\vec{v}}_{к} - {\vec{v}}_{н}}{t}$
Выполним преобразования и получим формулу импульса силы:
$\vec{F} \cdot t = Δ \vec{p}$
Таким образом, если к телу приложить силу, равную $0$, то изменение импульса со временем будет отсутствовать. Следовательно, тело будет покоиться или двигаться с постоянной скоростью. [i]

Когда импульс сохраняется

Чтобы применять закон сохранения импульса, важно понимать, что такое замкнутая система. [i]

Хороший пример — космонавт и ракета в открытом космосе, находящиеся далеко от других объектов. В этом случае их взаимодействие происходит только между ними, и внешние силы практически не влияют на систему. Поэтому такую систему можно считать замкнутой. [i]

Внутренние и внешние силы

Чтобы не путаться, важно разделять два типа сил:

Внутренние силы — это силы взаимодействия между телами замкнутой системы. Например, сила взаимодействия космонавта и ракеты.
Внешние силы — это силы, в отсутствии которых система была бы замкнутой. Например, притяжение планеты или сопротивление воздуха. [i]

Виды ударов

Хотя закон сохранения импульса выполняется во всех замкнутых системах, сами столкновения могут происходить по-разному. [i]

Примеры решения задач

Задание 1
Масса вертолёта в 15 раз меньше массы самолёта. Известно, что отношение величины импульса самолета к величине импульса вертолета равно 31,5. Во сколько раз скорость самолёта больше скорости вертолёта? [i]

mв = mс15 mсmв = 15.
pсpв = 31,5; mс vсmв vв = 31,5, подставим в данное уравнение отношение масс самолёта и вертолёта:
15 vсvв = 31,5 vсvв = 2,1.
Ответ: 2,1. [i]

Задание 2
К маленькой бусинке массой 20 г прикладывают силу F = 1,25 Н, под действием которой она движется по гладкой горизонтальной поверхности. Определите величину изменения импульса бусинки за 5 с движения. Ответ дайте в $кг \cdot \frac{м}{с}$ . [i]

$m = 0, 02$ кг.
$F = 1, 25$ Н.
$t = 5$ с.
Воспользуемся формулой для импульса силы:
$Δ p = F \cdot t = 1, 25 \cdot 5 = 6, 25 кг \cdot \frac{м}{с}$ .
Ответ: $6, 25 кг \cdot \frac{м}{с}$ . [i]

Задание 3
На шайбу, находящуюся на столе, действуют две горизонтальные силы (см. рисунок, вид сверху). За какое время проекция импульса шайбы на ось х увеличится на $Δ p = 120 кг \cdot \frac{м}{с}$ ? Ответ выразите в секундах. [i]

$Δ p = 120 кг \cdot \frac{м}{с}$
Сложим векторы по правилу треугольника:
$F_{сумм} = 3 \cdot 20 = 60$ Н.
$F_{сумм} t = Δ p \Rightarrow t = \frac{Δ p}{F_{сумм}} = \frac{120}{60} = 2$ с.
Ответ: 2 с. [i]

Задание 4
Два маленьких шарика движутся по горизонтальной поверхности. На рисунке представлены векторы импульсов шариков (вид сверху). Известно, что модуль импульса первого шарика $p_{1} = 12 кг \cdot \frac{м}{с}$ , второго — $p_{2} = 5 кг \cdot \frac{м}{с}$ . Чему равен модуль импульса системы, состоящей из этих двух шариков, после их абсолютно неупругого удара? Ответ дайте в $кг \cdot \frac{м}{с}$ . [i]

При абсолютно неупругом ударе тела после взаимодействия движутся как единое целое.
Так как система тел изолирована, суммарный импульс тел после взаимодействия будет равен импульсу тел до взаимодействия.
$p_{нач} = p_{кон} = \sqrt{p_{1}^{2} + p_{2}^{2}} = \sqrt{12^{2} + 5^{2}} = \sqrt{169} = 13 кг \cdot \frac{м}{с}$ .
Ответ: 13 $кг \cdot \frac{м}{с}$ . [i]

Итог

Импульс — это удобный инструмент, который позволяет:
описывать движение при ударах и столкновениях;
связывать силу и изменение движения;
использовать закон сохранения в замкнутых системах.
Вся тема строится в логическую цепочку:
второй закон Ньютона → изменение импульса → отсутствие внешних сил → сохранение импульса → применение к столкновениям.
Именно поэтому импульс занимает центральное место в задачах на взаимодействие тел. [i]