Введение
Конденсаторы могут быть подключены друг к другу двумя способами: параллельно и последовательно.
Параллельное соединение конденсаторов
Если параллельно подключены два конденсатора ёмкостями $C_1$ и $C_2$, то это эквивалентно одному конденсатору, ёмкость которого равна сумме ёмкостей конденсаторов $C_1$ и $C_2$:
Выведем эту формулу. По закону сохранения заряда на эквивалентном конденсаторе заряд будет равен сумме зарядов на каждом из параллельных конденсаторов:
$q=q_1+q_2$
На параллельных участках цепи напряжение одинаково, такое же напряжение будет и на эквивалентном конденсаторе:
$U=U_1=U_2$
Распишем заряды:
$q=CU$
$q_1=C1U$
$q_2=C2U$Подставим полученные выражения в закон сохранения заряда и выполним преобразования:
$CU=C_1U+C_2U$
Сократив обе части уравнения на U, получим:
$C=C_1+C_2$
Откуда видно, что общая ёмкость равна сумме ёмкостей конденсаторов.
Последовательное соединение конденсаторов
Напряжение на эквивалентном конденсаторе будет равно сумме напряжений на каждом из конденсаторов:
$U = U_1 + U_2$
Так как конденсаторы подключены последовательно, то заряды на них будут одинаковы и равны заряду на эквивалентном конденсаторе:
$q = q_1 = q_2$
Распишем напряжения:
$U_1 = \frac{q}{C_1}$
$U_2 = \frac{q}{C_2}$
$U = \frac{q}{C}$Подставим полученные выражения и выполним преобразования:
$\frac{q}{C} = \frac{q}{C_1} + \frac{q}{C_2}$
Сократив обе части уравнения на C, получим:
$\frac{1}{C} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}$
Обобщение формул для для соединения n конденсаторов
Параллельное соединение
$C = C_1 + C_2 + \dots + C_n$
$q = q_1 + q_2 + \dots + q_n$
$U = U_1 = U_2 = \dots = U_n$Последовательное соединение
$\frac{1}{C} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \dots + \frac{1}{C_n}$
$q = q_1 = q_2 = \dots = q_n$
$U = U_1 + U_2 + \dots + U_n$
Практическое применение: разбор задачи
Задание 1
Батарея состоит из четырёх одинаковых конденсаторов (см. рисунок). Чему равна общая ёмкость батареи, если ёмкость одного конденсатора равна 10 мкФ. Ответ выразите в мкФ.
При параллельном соединении ёмкости конденсаторов складываются, пусть $C_1$ — общая ёмкость конденсаторов, соединённых параллельно:
$C_1 = C + C + C = 3C$
Конденсатор $C_1$ и $C$ соединены последовательно:
$\frac{1}{C_{общ}} = \frac{1}{3C} + \frac{1}{C} = \frac{4}{3C}$
$C_{общ} = \frac{3}{4}C = \frac{3}{4} \cdot 10 = 7,5 \text{ мкФ.}$
Ответ: 7,5 мкФ.
