Введение

Конденсаторы могут быть подключены друг к другу двумя способами: параллельно и последовательно.

Параллельное соединение конденсаторов

Если параллельно подключены два конденсатора ёмкостями $C_{1}$ и $C_{2}$ , то это эквивалентно одному конденсатору, ёмкость которого равна сумме ёмкостей конденсаторов $C_{1}$ и $C_{2}$ :

Выведем эту формулу. По закону сохранения заряда на эквивалентном конденсаторе заряд будет равен сумме зарядов на каждом из параллельных конденсаторов:
$q = q_{1} + q_{2}$
На параллельных участках цепи напряжение одинаково, такое же напряжение будет и на эквивалентном конденсаторе:
$U = U_{1} = U_{2}$
Распишем заряды:
$q = C U$
$q_{1} = C 1 U$
$q_{2} = C 2 U$
Подставим полученные выражения в закон сохранения заряда и выполним преобразования:
$C U = C_{1} U + C_{2} U$
Сократив обе части уравнения на U, получим:
$C = C_{1} + C_{2}$
Откуда видно, что общая ёмкость равна сумме ёмкостей конденсаторов.

Подготовка к экзаменам в 100балльном репетиторе

Последовательное соединение конденсаторов

Напряжение на эквивалентном конденсаторе будет равно сумме напряжений на каждом из конденсаторов:
$U = U_{1} + U_{2}$
Так как конденсаторы подключены последовательно, то заряды на них будут одинаковы и равны заряду на эквивалентном конденсаторе:
$q = q_{1} = q_{2}$
Распишем напряжения:
$U_{1} = \frac{q}{C_{1}}$
$U_{2} = \frac{q}{C_{2}}$
$U = \frac{q}{C}$
Подставим полученные выражения и выполним преобразования:
$\frac{q}{C} = \frac{q}{C_{1}} + \frac{q}{C_{2}}$
Сократив обе части уравнения на C, получим:
$\frac{1}{C} = \frac{1}{C_{1}} + \frac{1}{C_{2}}$

Обобщение формул для для соединения n конденсаторов

Параллельное соединение

$C = C_{1} + C_{2} + \dots + C_{n}$
$q = q_{1} + q_{2} + \dots + q_{n}$
$U = U_{1} = U_{2} = \dots = U_{n}$
Последовательное соединение

$\frac{1}{C} = \frac{1}{C_{1}} + \frac{1}{C_{2}} + \dots + \frac{1}{C_{n}}$
$q = q_{1} = q_{2} = \dots = q_{n}$
$U = U_{1} + U_{2} + \dots + U_{n}$

Практическое применение: разбор задачи

Задание 1
Батарея состоит из четырёх одинаковых конденсаторов (см. рисунок). Чему равна общая ёмкость батареи, если ёмкость одного конденсатора равна 10 мкФ. Ответ выразите в мкФ.

При параллельном соединении ёмкости конденсаторов складываются, пусть $C_{1}$ — общая ёмкость конденсаторов, соединённых параллельно:
$C_{1} = C + C + C = 3 C$
Конденсатор $C_{1}$ и $C$ соединены последовательно:
1Cобщ = 13C + 1C = 43C
$C_{о б щ} = \frac{3}{4} C = \frac{3}{4} \cdot 10 = 7, 5 мкФ.$
Ответ: 7,5 мкФ.