Колебательный контур

Рассмотрим колебательный контур, в котором конденсатор изначально заряжен, а катушка — разряжена.

После замыкания цепи конденсатор начнёт разряжаться, создавая ток. Его значение будет возрастать плавно, так как в катушке возникнет ЭДС самоиндукции, препятствующая изменению тока. Это будет происходить до тех пор, пока заряд на обкладках конденсатора не станет равным нулю, то есть до полной его разрядки. В этот момент сила тока достигает максимального значения.

После того как конденсатор полностью разрядится (состояние 2), сила тока достигнет максимума и начнёт уменьшаться. По правилу Ленца в катушке возникает ЭДС самоиндукции, которая будет стремиться вернуть силу тока к прежнему максимальному значению. Катушка создаёт ток, который будет сонаправлен начальному току. В результате протекания тока самоиндукции обкладки конденсатора приобретут заряды противоположного знака (состояние 3). Это происходит до тех пор, пока ток в катушке не станет равен нулю, а заряд конденсатора не достигнет максимального значения.

Далее конденсатор вновь начнёт разряжаться, пока его заряд не станет равен нулю, а ток в катушке не достигнет максимального значения (состояние 4).

В катушке возникает ЭДС самоиндукции, которая будет стремиться вернуть силу тока к прежнему максимальному значению. В результате протекания тока самоиндукции обкладки конденсатора приобретут заряды того же знака, что и в начале (состояние 5).

Состояния 1–5 отражают одно полное колебание. Время, за которое время переходит из состояния 1 в состояние 5, называется периодом.

Колебания являются гармоническими, то есть величины изменяются по закону синуса или косинуса. Рассмотрим график зависимости заряда на положительной обкладке конденсатора от времени для идеального колебательного контура, в котором конденсатор изначально заряжен. Так как при t = 0 значение заряда максимально, график будет являться косинусоидой.

Запишем уравнение изменения заряда:

$q(t) = q_{max} \cdot \cos (\omega t)$

Взяв производную, получим уравнение силы тока через катушку:

$I(t) = (q(t))’ = q_{max} \cdot (-\sin (\omega t) \cdot \omega) = -q_{max} \omega \cdot \sin (\omega t)$

Учитывая, что $I_{max} = q_{max} \cdot \omega$, уравнение силы тока через катушку может иметь вид:

$I(t) = -I_{max} \cdot \sin (\omega t)$

Нарисуем график зависимости силы тока в катушке от времени, это будет график перевёрнутой вниз синусоиды:

Таким образом, в колебательном контуре происходит превращение энергии электрического поля конденсатора в энергию магнитного поля катушки и наоборот с определённой периодичностью.

График зависимости энергии электрического поля изначально заряженного конденсатора выглядит следующим образом:

Уравнение энергии конденсатора:

$W_c(t) = \frac{q_{max}^2 \cdot \cos^2 (\omega t)}{2C}$

График зависимости энергии магнитного поля катушки, энергия магнитного поля которой изначально равна нулю:

Заряд на одной из обкладок конденсатора можно найти по формуле:

$q = CU$

Максимальное значение напряжения на конденсаторе равно максимальной ЭДС самоиндукции в катушке, следовательно:

$q = CU$

$U = \xi_c = -LI’$

Подставим значение напряжения в формулу заряда и выполним преобразования:

$q = -LCI’ \Rightarrow q + LCI’ = 0$

Производная от заряда по времени — это сила тока. Поделим обе части уравнения на (LC):

$\frac{1}{LC}q + q» = 0$

Сопоставим полученное уравнение с уравнением гармонических колебаний и получим значение циклической частоты в колебательном контуре.

$x» + \omega^2 x = 0$

$\omega^2 = \frac{1}{LC} \Rightarrow \omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$

Используя формулу циклической частоты, найдём формулу периода:

$T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{LC}$

$T = 2\pi\sqrt{LC}$

Полученная формула называется формулой Томсона.

По закону сохранения энергии в идеальном колебательном контуре, сумма энергии конденсатора и энергии катушки постоянна.

$W_c + W_L − const$

Так как суммарная энергия одинакова в любой момент времени, то эта сумма также будет равняться максимальной энергии конденсатора и максимальной энергии катушки.

$W_c + W_L = W_{Cmax} = W_{Lmax}$

Распишем формулы энергий:

$\frac{CU^2}{2} + \frac{LI^2}{2} = \frac{CU_{max}^2}{2} = \frac{LI_{max}^2}{2}$

В реальной жизни электромагнитные колебания являются затухающими, поскольку провода и приборы имеют некоторое сопротивление, на котором выделяется тепло. Поэтому амплитуда колебаний тока в катушке и заряда конденсатора уменьшается на каждом периоде.

Задание 1

Определите, во сколько раз период колебаний в колебательном контуре, состоящем из катушки индуктивностью L и конденсатора ёмкостью C, больше периода колебаний в колебательном контуре, параметры элементов которого равны $\frac{L}{18}$ и 12,5C соответственно.

Задание 2

Напряжение на клеммах конденсатора в колебательном контуре меняется с течением времени согласно графику на рисунке. Определите, чему станет равна частота колебаний в этом контуре, если индуктивность катушки уменьшить в 16 раз. Ответ выразите в Гц.

Задание 3

На рисунке представлена принципиальная схема колебательного контура. В начальном состоянии ключ К находится в положении 1, затем его переводят в положение 2. Определите, во сколько раз при этом увеличивается период собственных электромагнитных колебаний в контуре.

Задание 4

Определите, во сколько раз уменьшится период колебаний в колебательном контуре при уменьшении индуктивности катушки в 9 раз и увеличении ёмкости конденсатора в 4 раза.

Задание 5

Ученику в ходе лабораторной работы по исследованию электромагнитных колебаний выдано две катушки индуктивностями $L_1 = 0,5$ мГн и $L_2 = 4$ мГн и два конденсатора ёмкостями $C_1 = 4$ нФ и $C_2 = 6,25$ нФ. Определите минимальную циклическую частоту собственных колебаний в контуре, собранном из пары выданных ученику элементов. Ответ выразите в $10^3 с^−1$.

Задание 6

Свободные электромагнитные колебания происходят в идеальном колебательном контуре. В таблице показано изменение заряда конденсатора с течением времени. Чему равно максимальное значение силы тока в катушке? Ответ выразите в мА.