Колебательный контур

Рассмотрим колебательный контур, в котором конденсатор изначально заряжен, а катушка — разряжена.

После замыкания цепи конденсатор начнёт разряжаться, создавая ток. Его значение будет возрастать плавно, так как в катушке возникнет ЭДС самоиндукции, препятствующая изменению тока. Это будет происходить до тех пор, пока заряд на обкладках конденсатора не станет равным нулю, то есть до полной его разрядки. В этот момент сила тока достигает максимального значения. 100points.ru[i]

После того как конденсатор полностью разрядится (состояние 2), сила тока достигнет максимума и начнёт уменьшаться. По правилу Ленца в катушке возникает ЭДС самоиндукции, которая будет стремиться вернуть силу тока к прежнему максимальному значению. Катушка создаёт ток, который будет сонаправлен начальному току. В результате протекания тока самоиндукции обкладки конденсатора приобретут заряды противоположного знака (состояние 3). Это происходит до тех пор, пока ток в катушке не станет равен нулю, а заряд конденсатора не достигнет максимального значения.

Далее конденсатор вновь начнёт разряжаться, пока его заряд не станет равен нулю, а ток в катушке не достигнет максимального значения (состояние 4).

В катушке возникает ЭДС самоиндукции, которая будет стремиться вернуть силу тока к прежнему максимальному значению. В результате протекания тока самоиндукции обкладки конденсатора приобретут заряды того же знака, что и в начале (состояние 5). 100points.ru[i]

Состояния 1–5 отражают одно полное колебание. Время, за которое время переходит из состояния 1 в состояние 5, называется периодом.

Колебания являются гармоническими, то есть величины изменяются по закону синуса или косинуса. Рассмотрим график зависимости заряда на положительной обкладке конденсатора от времени для идеального колебательного контура, в котором конденсатор изначально заряжен. Так как при t = 0 значение заряда максимально, график будет являться косинусоидой. 100points.ru[i]

Запишем уравнение изменения заряда:

$q(t)=q_{max}·\cos (\omega t)$

Взяв производную, получим уравнение силы тока через катушку:

$I(t)=(q(t))’=q_{max}·(-\sin (\omega t)·\omega )=-q_{max}\omega ·\sin (\omega t)$

Учитывая, что $I_{max}=q_{max}·\omega$, уравнение силы тока через катушку может иметь вид:

$I(t)=-I_{max}·\sin (\omega t)$

Нарисуем график зависимости силы тока в катушке от времени, это будет график перевёрнутой вниз синусоиды: 100points.ru[i]

Таким образом, в колебательном контуре происходит превращение энергии электрического поля конденсатора в энергию магнитного поля катушки и наоборот с определённой периодичностью.

График зависимости энергии электрического поля изначально заряженного конденсатора выглядит следующим образом: 100points.ru[i]

Уравнение энергии конденсатора:

$W_c(t)=\frac{q_{max}^2·{\cos }^2(\omega t)}{2C}$

График зависимости энергии магнитного поля катушки, энергия магнитного поля которой изначально равна нулю: 100points.ru[i]

Заряд на одной из обкладок конденсатора можно найти по формуле:

$q=CU$

Максимальное значение напряжения на конденсаторе равно максимальной ЭДС самоиндукции в катушке, следовательно:

$q=CU$

$U={\xi }_c=-LI’$

Подставим значение напряжения в формулу заряда и выполним преобразования:

$q=-LCI’\Rightarrow q+LCI’=0$

Производная от заряда по времени — это сила тока. Поделим обе части уравнения на (LC):

$\frac{1}{LC}q+q»=0$

Сопоставим полученное уравнение с уравнением гармонических колебаний и получим значение циклической частоты в колебательном контуре.

$x»+{\omega }^{2}x=0$

${\omega }^2=\frac{1}{LC}\Rightarrow \omega =\frac{1}{\sqrt{LC}}$

Используя формулу циклической частоты, найдём формулу периода:

$T=\frac{2\pi }{\omega }=2\pi \sqrt{LC}$

$T=2\pi \sqrt{LC}$

Полученная формула называется формулой Томсона.

По закону сохранения энергии в идеальном колебательном контуре, сумма энергии конденсатора и энергии катушки постоянна.

$W_c+W_L-const$

Так как суммарная энергия одинакова в любой момент времени, то эта сумма также будет равняться максимальной энергии конденсатора и максимальной энергии катушки.

$W_c+W_L=W_{Cmax}=W_{Lmax}$

Распишем формулы энергий:

$\frac{C{U}^2}{2}+\frac{L{I}^2}{2}=\frac{C{U}_{max}^2}{2}=\frac{L{I}_{max}^2}{2}$

В реальной жизни электромагнитные колебания являются затухающими, поскольку провода и приборы имеют некоторое сопротивление, на котором выделяется тепло. Поэтому амплитуда колебаний тока в катушке и заряда конденсатора уменьшается на каждом периоде. 100points.ru[i]

Задание 1

Определите, во сколько раз период колебаний в колебательном контуре, состоящем из катушки индуктивностью L и конденсатора ёмкостью C, больше периода колебаний в колебательном контуре, параметры элементов которого равны $\frac{L}{18}$ и 12,5C соответственно. 100points.ru[i]

Задание 2

Напряжение на клеммах конденсатора в колебательном контуре меняется с течением времени согласно графику на рисунке. Определите, чему станет равна частота колебаний в этом контуре, если индуктивность катушки уменьшить в 16 раз. Ответ выразите в Гц. 100points.ru[i]

Задание 3

На рисунке представлена принципиальная схема колебательного контура. В начальном состоянии ключ К находится в положении 1, затем его переводят в положение 2. Определите, во сколько раз при этом увеличивается период собственных электромагнитных колебаний в контуре. 100points.ru[i]

Задание 4

Определите, во сколько раз уменьшится период колебаний в колебательном контуре при уменьшении индуктивности катушки в 9 раз и увеличении ёмкости конденсатора в 4 раза. 100points.ru[i]

Задание 5

Ученику в ходе лабораторной работы по исследованию электромагнитных колебаний выдано две катушки индуктивностями $L_1=0,5$ мГн и $L_2=4$ мГн и два конденсатора ёмкостями $C_1=4$ нФ и $C_2=6,25$ нФ. Определите минимальную циклическую частоту собственных колебаний в контуре, собранном из пары выданных ученику элементов. Ответ выразите в 103 с−1. 100points.ru[i]

Задание 6

Свободные электромагнитные колебания происходят в идеальном колебательном контуре. В таблице показано изменение заряда конденсатора с течением времени. Чему равно максимальное значение силы тока в катушке? Ответ выразите в мА. 100points.ru[i]