Введение

Движение тела, брошенного под углом к горизонту, — одна из ключевых задач кинематики. Оно описывает траектории мячей, снарядов и любых объектов, движущихся под действием силы тяжести.
В этой теме важно уметь разложить движение на две независимые составляющие и вывести основные характеристики полёта: время подъёма, максимальную высоту и дальность полёта. В этой статье разберём базовую теорию и получим все необходимые формулы. [i]

Основные понятия

Ускорение свободного падения обозначается буквой g. Его принято считать равным 9,80665 м/с², однако на ЕГЭ в справочных материалах используется g = 10 м/с². [i]

Подготовка к экзаменам в 100балльном репетиторе

Постановка задачи

Чтобы понять тему, разберём четыре типовых задачи на вывод формул. В каждой из них задана определённая ситуация и указаны величины, которые необходимо найти.
Тело брошено под углом со скоростью v₀. Ускорение свободного падения — g. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найдите время подъёма, максимальную высоту, время полёта и дальность полёта. [i]

Разбор

Введём оси OX и OY через рисунок: [i]

Найдём проекции скорости тела на оси в момент броска. Для этого используем тригонометрические функции.
Так как косинус угла — это отношение прилежащего катета к гипотенузе, в нашем случае это отношение проекции начальной скорости на ось OX к начальной скорости v₀:
$\cos α = \frac{v_{0 x}}{v_{0}} \Rightarrow v_{0 x} = v_{0} \cdot \cos α$
Синус угла — это отношение противолежащего катета к гипотенузе, то есть отношение проекции начальной скорости на ось OY к начальной скорости v₀:
$\sin α = \frac{v_{0 y}}{v_{0}} \Rightarrow v_{0 y} = v_{0} \cdot \sin α$
Запишем уравнения координат и скоростей:
$x = x_{0} + v_{0 x} t + \frac{a_{x} \cdot t^{2}}{2}$
$v_{x} = v_{0 x} + a_{x} \cdot t$
$y = y_{0} + v_{0 y} t + \frac{a_{y} \cdot t^{2}}{2}$
$v_{y} = v_{0 y} + a_{y} \cdot t$
Ось Х: начальная координата по горизонтали равна нулю, проекция ускорения по оси OХ отсутствует.
Ось Y: начальная координата по вертикали равна нулю, так как тело брошено с земли. Проекция ускорения тела на ось OY равна -g.
$x = v_{0} \cdot \sin α \cdot t$
$v_{x} = v_{0} \cdot \cos α$
$y = v_{0} \cdot \sin α \cdot t - \frac{g \cdot t^{2}}{2}$
$v_{y} = v_{0} \cdot \sin α - g \cdot t$
В точке B тело уже не поднимается и ещё не начало опускаться, значит проекция скорости на ось OY равна нулю, а по оси OХ останется той же и будет равна $v_{O X}$ .
Подставим значение $v_{O Y}$ в уравнение скорости $v_{Y}$ :
$0 = v_{0} \cdot \sin α - g \cdot t_{B}$
Выполним преобразования и выразим $t_{B}$ :
$t_{B} = \frac{v_{0} \cdot \sin α}{g}$
Теперь распишем координату у для максимальной высоты подъёма:
$h = v_{0} \cdot \sin α \cdot \frac{v_{0} \cdot \sin α}{g} - \frac{g}{2} {(\frac{v_{0} \cdot \sin α}{g})}^{2}$
$h = \frac{v_{0}^{2} \cdot \sin^{2} α}{2 g}$
В точке С координата y равна нулю:
$y_{C} = 0 \Rightarrow 0 = v_{0} \cdot \sin α \cdot t_{C} - \frac{g \cdot t_{C}^{2}}{2}$
Вынесем $t_{С}$ за скобку:
$t_{C} (v_{0} \cdot \sin α - \frac{g \cdot t_{C}}{2}) = 0$
При tС = 0 тело находится в начале координат. Так как нам нужен момент падения, то приравняем к нулю полученное выражение в скобке:
$v_{0} \cdot \sin α - \frac{g \cdot t_{C}}{2} = 0$
$v_{0} \cdot \sin α = \frac{g \cdot t_{C}}{2}$
$t_{C} = \frac{2 v_{0} \cdot \sin α}{g}$
Обрати внимание на формулу подъёма до точки В. Сравнивая её с формулой полного времени полёта, можно сделать вывод, что время полёта в два раза больше времени подъёма:
$t_{C} = 2 t_{B}$
В данной задаче это выводится из симметрии движения: время подъёма равно времени падения.
Чтобы найти дальность полёта, нужно подставить в уравнение для координаты x время $t_{С}$ и l вместо координаты x:
$l = v_{0} \cdot \cos α \cdot t_{C} = v_{0} \cdot \cos α \cdot \frac{2 v_{0} \cdot \sin α}{g}$
$l = \frac{v_{0}^{2} \cdot 2 \cdot \sin α \cdot \cos α}{g}$
По формуле синуса двойного угла:
$2 \cdot \sin α \cdot \cos α = \sin 2 α$
Подставим в формулу дальности полёта:
$l = \frac{v_{0}^{2} \cdot \sin 2 α}{g}$ [i]

Итог

Движение тела, брошенного под углом к горизонту, сводится к двум независимым движениям: равномерному по горизонтали и равноускоренному по вертикали.
Именно это позволяет вывести универсальные формулы для времени полёта, высоты и дальности. [i]