Name: Двушка с Азатом Адеевым | ЕГЭ-2028
Price: 5210 RUB
Availability: InStock

Основные понятия и характеристики

Схематично изобразим конденсатор, подключённый к источнику постоянного напряжения: [i]

Схема конденсатора подключённого к источнику постоянного напряжения

Главной характеристикой конденсатора является ёмкость, которая измеряется в фарадах [Ф] и в случае плоского конденсатора находится по формуле:
$C = \frac{ε ε_{0} S}{d}$
Где:
$ε$ — относительная диэлектрическая проницаемость среды [−];
$ε_{0}$ — электрическая постоянная, равная $8, 85 \cdot 10^{- 12}$ Ф/м;
$S$ — площадь одной из пластин $[м^{2}]$ ;
$d$ — расстояние между пластинами [м].
На электрической схеме конденсатор изображается следующим образом: [i]

Ёмкость конденсатора связывает между собой заряд и напряжение конденсатора, но не зависит от них.
$C = \frac{q}{U}$
Ёмкость конденсатора определяется только его геометрическими параметрами и диэлектрической проницаемостью среды между обкладками.
Если конденсатор не подключён к источнику напряжения, то заряд на обкладках будет постоянным (q-const). При этом выполняется закон сохранения заряда. [i]

Если конденсатор подключён к источнику напряжения, то напряжение на конденсаторе будет постоянным (U-const). [i]

Используя формулу напряжения между обкладками конденсатора, получим формулу напряжённости электрического поля.
$U = \frac{A}{q} = \frac{F d}{q} = \frac{E q d}{q} = E d$
Откуда:
$E = \frac{U}{d}$
По этой формуле видно, что для напряжённости можно использовать размерность В/м.
Энергию электрического поля, запасённую в заряженном конденсаторе, можно рассчитать по формуле:
$W_{C} = \frac{C U^{2}}{2}$
Существует также альтернативная запись этой формулы. Чтобы её получить, выразим напряжение из формулы $C = \frac{q}{U}$ и подставим в исходную формулу:
$U = \frac{q}{C}$
$W_{C} = \frac{C q^{2}}{2 C^{2}} = \frac{q^{2}}{2 C}$
Подставим формулу $C = \frac{q}{U}$ в исходную формулу:
$W_{C} = \frac{q U^{2}}{2 U} = \frac{q U}{2}$
На экзамене и на практике задачи часто решаются с использованием закона сохранения энергии, который записывается для двух состояний:
$W_{1} + A_{ист} = W_{2} + Q$
где,
$W_{1}$ — общая энергия конденсаторов в первом состоянии, Дж;
$A_{ист}$ — работа источника по перенесению заряда, Дж;
$W_{2}$ — общая энергия конденсаторов во втором состоянии, Дж;
$Q$ — тепловая энергия, Дж. [i]

Подготовка к экзаменам в 100балльном репетиторе

Примеры решения задач

Задание 1
В ходе изучения конструкции и свойств конденсаторов использовали два масляных конденсатора, при этом ёмкость первого конденсатора оказалась в 4 раза меньше ёмкости второго конденсатора. Во сколько раз площадь пластин первого конденсатора меньше площади пластин второго конденсатора, если расстояние между пластинами первого конденсатора в 1,25 раза больше расстояния между пластинами второго конденсатора? [i]

$C_{1} = \frac{C_{2}}{4}$
$d_{1} = 1, 25 d_{2}$
$C = \frac{ε ε_{0} S}{d}$
$\frac{ε ε_{0} S_{1}}{d_{1}} = \frac{ε ε_{0} S_{2}}{4 d_{2}}$
$\frac{S_{2}}{S_{1}} = \frac{4 d_{2}}{d_{1}} = \frac{4 \cdot 1}{1, 25} = 0, 8 \cdot 4 = 3, 2 .$
Ответ: 3,2. [i]

Задание 2
Напряжение на обкладках конденсатора увеличивают в 4 раза. Во сколько раз при этом увеличивается энергия электрического поля конденсатора? [i]

$U_{2} = 4 U_{1}$
$↑_{в 16} W = \frac{C U^{2} ↑_{в 16}}{2}$ , если $U$ увеличивается в 4 раза, то $U^{2}$ увеличивается в 16 раз, значит энергия тоже увеличивается в 16 раз.
Ответ: 16. [i]

Задание 3
Первый конденсатор ёмкостью 2С подключён к источнику постоянного напряжения U, а второй конденсатор ёмкостью 3С — к источнику постоянного напряжения 2U. Определите отношение энергии электрического поля второго конденсатора к энергии электрического поля первого конденсатора. [i]

$W = \frac{C U^{2}}{2}$
$\frac{W_{2}}{W_{1}} = \frac{\frac{3 C (2 U)^{2}}{2}}{\frac{2 C U^{2}}{2}} = \frac{3 \cdot 4 U^{2}}{2 U^{2}} = 6$
Ответ: 6. [i]

Задание 4
Имеется два плоских конденсатора, обкладками которого являются круглые пластины. Радиус обкладок первого конденсатора 4R, расстояние между ними d, а изолирующим материалом служит воздух. Второй конденсатор состоит из двух пластин радиусом R, зазор между которыми $\frac{d}{2}$ , а в качестве изолирующего материала используется некоторое вещество. Чему равна диэлектрическая проницаемость данного вещества, если ёмкость первого конденсатора в 2 раза больше ёмкости второго конденсатора? [i]

$S_{1} = π (4 R)^{2} = 16 π R^{2}; d_{1} = d; ε_{1} = 1$
$S_{2} = π R^{2}; d_{2} = \frac{d}{2}; ε_{2} - ?$
$C = \frac{ε ε_{0} S}{d}$
$C_{1} = 2 C_{2}$
$\frac{ε_{1} ε_{0} 16 π R^{2}}{d} = 2 \cdot \frac{ε_{2} ε_{0} π R^{2}}{\frac{d}{2}} \Rightarrow 16 ε_{1} = 4 ε_{2} \Rightarrow ε_{2} = 4 ε_{1} = 4 .$
Ответ: 4. [i]

Задание 5
Зазор между обкладками плоского воздушного конденсатора с зарядом q = 60 мкКл и ёмкостью C = 75 мкФ составляет d = 5 мм. Определите модуль напряжённости электрического поля, создаваемого между обкладками конденсатора. Ответ выразите в В/м. [i]

$E = \frac{U}{d}$
$C = \frac{q}{U} \Rightarrow U = \frac{q}{C}$
$E = \frac{\frac{q}{C}}{d} = \frac{q}{C d} = \frac{60 \cdot 10^{- 6}}{75 \cdot 10^{- 6} \cdot 5 \cdot 10^{- 3}} = 160 \frac{В}{м} .$
Ответ: $160 \frac{В}{м}$ . [i]