Основы ядерной физики: радиоактивный распад и ядерные реакции

Закон радиоактивного распада

Некоторые элементы периодической таблицы Менделеева являются нестабильными, то есть не могут сохранять своё строение в течении долгого времени. Такие вещества, испуская $α$ , $β$ и $γ$ частицы, превращаются в другие вещества. Это происходит до тех пор, пока вещество не станет стабильным.
Представим ядро вещества, которое со временем способно распадаться. Такие ядра называются нестабильными, за определённое короткое время нестабильные ядра распадаются на стабильные, в то же время идёт выделение каких-либо частиц. [i]

Обозначим начальное количество радиоактивных атомов $N_{0}$ . Тогда, спустя время равное T, количество нераспавшихся ядер станет равно $\frac{N_{0}}{2}$ , спустя ещё один период — $\frac{N_{0}}{4}$ и так далее. [i]

Таким образом, количество нераспавшихся атомов можно найти по формуле:
$N_{нерасп} = \frac{N_{0}}{2^{k}}$
Где k − количество периодов полураспада, которое можно найти по формуле:
$k = \frac{t}{T}$
Объединив формулы, получим:
$N_{нерасп} = \frac{N_{0}}{2^{\frac{t}{T}}} = N_{0} \cdot (2^{- 1})^{\frac{t}{T}}$
Закон радиоактивного распада
$N = N_{0} \cdot 2^{- \frac{t}{T}}$
Важно отметить, что закон радиоактивного распада носит статистический характер и выполняется только для большого числа атомов.
Умножим полученную формулу на массу одного атома и получим:
$N \cdot m_{A} = m_{A} \cdot N_{0} \cdot 2^{- \frac{t}{T}}$
$m = m_{0} \cdot 2^{- \frac{t}{T}}$
где
$m_{A}$ — масса одного атома, кг;
$N_{0}, N$ — начальное и конечное количество атомов соответственно;
$m_{0}, m$ — начальная и конечная масса всего вещества соответственно. [i]

Активность можно найти по формуле:
$a = a_{0} \cdot 2^{- \frac{t}{T}}$
Где $a_{0}$ — изначальное количество распадов в секунду.
Давайте также изобразим графическую зависимость количества нераспавшихся молекул от времени $N = N_{0} \cdot 2^{- \frac{t}{T}}$ . Если расписать двойку по свойству отрицательного показателя степени, то видно, что это показательная функция с основанием меньше 1, то есть убывающая: $N = N_{0} \cdot (\frac{1}{2})^{\frac{t}{T}}$ . [i]

Графическая зависимость количества нераспавшихся молекул от времени

Имея зависимость количества нераспавшихся ядер от времени, легко понять, что количество распавшихся ядер может быть найдено по формуле:
$N_{расп} = N_{0} - N = N_{0} - N_{0} \cdot 2^{- \frac{t}{T}} = N_{0} \cdot (1 - 2^{- \frac{t}{T}})$
Нарисуем график зависимости количества нераспавшихся и распавшихся частиц от времени: [i]

График зависимости количества нераспавшихся и распавшихся частиц от времени

Подготовка к экзаменам в 100балльном репетиторе

Типы ядерных реакций

Пример ядерной реакции:
$_{7}^{14} N +_{2}^{4} H e \to_{8}^{17} O +_{1}^{1} H$
В любой ядерной реакции выполняются законы сохранения энергии и импульса.
Ядерные реакции бывают двух типов: экзотермические и эндотермические. В ходе экзотермической реакции выделяется тепло, а при эндотермической — поглощается. [i]

Термоядерные реакции протекают на Солнце, ядра водорода образуют ядра гелия. [i]

В качестве примера рассмотрим радиоактивный распад урана-235 при бомбардировке его нейтроном: [i]

Радиоактивный распад урана-235 при бомбардировке его нейтроном

Вылетевшие нейтроны попадают на другие нераспавшиеся ядра урана-235, что приводит к трём новым распадам. С каждым новым распадом количество распадов в единицу времени увеличивается, такая реакция называется цепной. Это приводит к колоссальному выбросу энергии.
Цепная реакция используется при работе атомных электростанций. Для контроля её скорости или остановки используются графитовые стержни, которые поглощают нейтроны и останавливают реакцию. [i]

Практикум: решение задач

Задание 1
Ядро тория $_{90}^{232} T h$ испытывает несколько $α$ − и $β$ −распадов и превращается в ядро актиния $_{89}^{228} A c$ . Какое число $α$ − и $β$ −распадов испытало ядро тория? В ответ запишите только числа, не разделяя их пробелом или другим знаком. [i]

Число $α$ -распадов	Число $β$ -распадов

$_{90}^{232} T h = x \cdot_{2}^{4} α + y \cdot_{- 1}^{0} β +_{89}^{228} A c$
Решим уравнение, взяв верхние коэффициенты:
$232 = x \cdot 4 + y \cdot 0 + 228$
232 = 4x + 228
4x = 4
x = 1
Теперь возьмём нижние коэффициенты:
90 = 2x − y + 89
1 = 2x − y
$y = 2 x - 1 = 2 \cdot 1 - 1 = 1 .$
Ответ: 11. [i]

Задание 2
Определите число нейтронов и массовое число ядра атома, образовавшегося в результате цепной ядерной реакции, в ходе которой ядро алюминия $_{13}^{27} A l$ захватывает одну $α$ −частицу и излучает один протон. В ответ запишите только числа, не разделяя их пробелом или другим знаком. [i]

Число нейтронов	Массовое число ядра

$_{13}^{27} A l +_{2}^{4} α =_{1}^{1} p +_{Z}^{A} X$
Решим уравнение, взяв верхние коэффициенты:
27 + 4 = A + 1
A = 30 (массовое число)
Решим уравнение, взяв нижние коэффициенты:
13 + 2 = 1 + Z
Z = 14 (зарядовое число)
Число нейтронов равно A − Z = 30 − 14 = 16.
Ответ: 1630. [i]

Задание 3
Примером двойного $β$ −распада служит распад ядра теллура $_{52}^{130} T e$ , в результате которого образуется 2 электрона, 2 антинейтрино и ядро другого элемента (продукт распада). Определите число нейтронов и число протонов в ядре этого элемента. В ответ запишите только числа, не разделяя их пробелом или другим знаком. [i]

Число нейтронов	Число протонов

$_{52}^{130} T e = 2 \cdot_{- 1}^{0} β + 2 \cdot_{0}^{0} антинейтрино +_{Z}^{A} X$
Решим уравнение, взяв верхние коэффициенты:
$130 = 2 \cdot 0 + 2 \cdot 0 + A$
A = 130 (массовое число)
Решим уравнение, взяв нижние коэффициенты:
$52 = - 1 \cdot 2 + 2 \cdot 0 + Z$
Z = 54 (зарядовое число)
Число нейтронов равно A − Z = 130 − 54 = 76.
Число протонов равно зарядовому числу Z.
Ответ: 7654. [i]

Задание 4
В результате цепной ядерной реакции атом урана $_{92}^{238} U$ претерпевает ряд $α$ − и $β$ −распадов, в результате которых образуется ядро свинца $_{82}^{206} P b$ . Какое число $α$ − и $β$ −распадов испытало ядро урана? В ответ запишите только числа, не разделяя их пробелом или другим знаком. [i]

Число $α$ -распадов	Число $β$ -распадов

$_{92}^{235} U = x \cdot_{2}^{4} α + y \cdot_{- 1}^{0} β +_{82}^{206} P b$
Решим уравнение, взяв верхние коэффициенты:
$238 = 4 \cdot x + 0 \cdot y + 206$
4x = 32
x = 8
Решим уравнение, взяв нижние коэффициенты:
$92 = 2 \cdot 8 - y + 82$
y = 6
Ответ: 86. [i]

Задание 5
Определите долю от большого количества атомов радиоактивного вещества, которая распадётся спустя время, равное четырём периодам полураспада. Ответ выразите в процентах. [i]

Составим таблицу:

По таблице видим, что через 4 периода полураспада распадётся 0,9375 от общего числа ядер.
Ответ: 0,9375. [i]

Задание 6
Изначально в реакторе содержится большое количество $N_{0}$ ядер радиоактивного изотопа висмута $- 210$ с периодом полураспада $T = 5$ дней. Спустя какое время количество ядер данного изотопа уменьшится до $\frac{N_{0}}{8}$ ? Ответ выразите в часах. [i]

Через каждый период полураспада, остаётся в два раза меньше нераспавшихся ядер.
Количество ядер уменьшится до значения $\frac{N_{0}}{8}$ через 3 периода полураспада, или же 3T.
$t = 3 T = 3 \cdot 5 = 15 дней = 15 \cdot 24 = 360$ часов.
Ответ: 360. [i]

Задание 7
Ядро тория $90232 T h$ испытывает ряд радиоактивных распадов и превращается в изотоп висмута $83212 B i$ . Какое число $α$ − и $β$ −распадов испытало ядро тория? В ответ запишите только числа, не разделяя их пробелом или другим знаком. [i]

Число $α$ -распадов	Число $β$ -распадов

$90232 T h =_{83}^{212} B i + x \cdot_{2}^{4} α + y \cdot_{- 1}^{0} β$
Решим уравнение, взяв верхние коэффициенты:
$232 = 212 + 4 \cdot x + 0 \cdot y$
x = 5 (количество альфа−распадов)
Решим уравнение, взяв нижние коэффициенты:
$90 = 83 + 5 \cdot 2 - y$
y = 3 (количество бета−распадов).
Ответ: 53. [i]