Соединение резисторов

Электрическое сопротивление

Для создания сопротивления в электрической цепи используется резистор. [i]

Существует два основных способа соединения резисторов — последовательное и параллельное. Также возможно смешанное соединение — комбинация этих двух способов. [i]

Последовательное соединение

Рассмотрим два последовательно соединённых резистора R₁ и R₂: [i]

Два последовательно соединённых резистора

При последовательном соединении резисторов отсутствуют разветвления цепи, поэтому у тока не будет обходных путей, и через каждый участок цепи в единицу времени будет проходить одинаковый заряд. Из этого следует равенство силы тока на каждом из резисторов. [i]

Равенство силы тока на каждом из резисторов

I₁ = I₂ = I
Чтобы понять, как связаны напряжения, рассмотрим аналогию. Представим, что нужно перетащить ящик из точки А в точку С. Это можно сделать сразу, а можно последовательно: сначала из точки А в точку В, а затем из В в С. То есть можно разбить работу на две составляющие.
То же самое происходит и с напряжением. Напряжение между точками А и С будет равно сумме напряжений между А и В и В и С:
U = U₁ + U₂
С помощью закона Ома для участка цепи выполним преобразования:
U = I ⋅ R
U₁ = I ⋅ R₁
U₂ = I ⋅ R₂
I ⋅ R = I ⋅ R₁ + I ⋅ R₂
Сократив на I, получим формулу общего сопротивления резисторов при последовательном соединении:
R = R₁ + R₂
То есть при последовательном соединении резисторов общее сопротивление равно сумме сопротивлений исходных резисторов.
Таким образом, для последовательно соединённых резисторов выполняются соотношения:
I₁ = I₂ = I
U = U₁ + U₂
R = R₁ + R₂ [i]

Подготовка к экзаменам в 100балльном репетиторе

Параллельное соединение

Рассмотрим два параллельно соединённых резистора R₁ и R₂. Ток, протекающий по цепи, разделится и потечёт через оба резистора. [i]

По закону сохранения заряда общий заряд, втекающий в узел, равен общему заряду, вытекающему из узла. Отсюда следует равенство входящего в узел тока сумме исходящих.
I = I₁ + I₂
Напряжение на параллельных участках будет одинаковым:
U = U₁ = U₂
По закону Ома распишем силы тока:
I = I₁ + I₂
$\frac{U}{R} = \frac{U}{R_{1}} + \frac{U}{R_{2}}$
$\frac{1}{R} = \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}}$
Таким образом, для параллельно соединённых резисторов выполняются соотношения:
I = I₁ + I₂
U = U₁ = U₂
$\frac{1}{R} = \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}}$
Преобразовав последнее выражение, получим формулу для расчёта общего сопротивления двух параллельных резисторов:
$R = \frac{R_{1} R_{2}}{R_{1} + R_{2}}$ [i]

Задание 1

Найдите сопротивление участка цепи постоянного тока, показанного на рисунке, где r = 4 Ом. Ответ дайте в омах. [i]

Резисторы 4r и r соединены параллельно, значит их общее сопротивление равно:
$\frac{1}{R_{∥}} = \frac{1}{4 r} + \frac{1}{r} = \frac{5}{4 r} \Rightarrow R_{∥} = \frac{4}{5} r$
Нарисуем эквивалентную схему: [i]

Эквивалентная схема

Соединение последовательное, значит $R_{общ} = r + 2 r + R_{∥}$
$R_{общ} = 4 + 2 \cdot 4 + \frac{4}{5} \cdot 4 = 3, 8 \cdot 4 = 15, 2 Ом$
Ответ: 15,2 Ом. [i]

Задание 2

На рисунке ниже представлена схема электрической цепи. Найдите общее сопротивление цепи. Ответ дайте в омах. [i]

Резисторы 4 Ом между собой соединены параллельно. Их общее сопротивление равно:
$\frac{1}{R_{∥}} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = 1$
R = 1 Ом [i]

Последовательное соединение цепи

Соединение последовательное, общее сопротивление цепи равно:
$R_{общ} = 3 + 1 + 2 = 6 О м$
Ответ: 6 Ом. [i]

Задание 3

На рисунке ниже представлена схема участка цепи АВ, где сопротивление каждого резистора равно 10 Ом. Ключ переключают из положения 1 в положение 2. Во сколько раз при этом увеличивается сопротивление этого участка цепи? [i]

Общее сопротивление параллельно соединённых одинаковых резисторов в n раз меньше сопротивления одного из таких резисторов, где n — число параллельно соединённых резисторов.
В первом случае: [i]

Соединение резисторов (решение задач 1)

Общее сопротивление равно: $R_{1} = R + \frac{R}{3} = \frac{4}{3} R$
Во втором случае: [i]

Соединение резисторов (решение задач 2)

Общее сопротивление равно: $ R_2 = R + R = 2R$
$\frac{R_{2}}{R_{1}} = \frac{2 R}{\frac{4}{3} R} = \frac{6}{4} = 1, 5$
Ответ: 1,5. [i]

Задание 4

На рисунке ниже изображён участок цепи АВ. Найдите, на сколько изменится сопротивление участка цепи, если ключ К замкнуть. Сопротивление каждого резистора равно 10 Ом. Если сопротивление увеличится, изменение считайте положительным, если уменьшится — отрицательным. Ответ дайте в омах. [i]

В первом случае, когда ключ разомкнут, цепь выглядит следующим образом: [i]

Соединение резисторов (решение задач 3)

Общее сопротивление цепи будет равно $R_{1} = R + \frac{R}{2} = \frac{3}{2} R$ .
Когда ключ замкнут, появляется пустой провод, ток идёт по пути наименьшего сопротивления. [i]

Соединение резисторов (решение задач 4)

Тогда общее сопротивление цепи будет равно: $R_{2} = R$ .
$R_{1} - R_{2} = \frac{3}{2} R - R = \frac{1}{2} R = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5 Ом$
Сопротивление уменьшилось, значит в ответ записываем значение −5 Ом.
Ответ: −5 Ом. [i]

Задание 5

Электрическая цепь представлена на рисунке ниже. Показания вольтметра 3 В. Найдите силу тока, которую показывает амперметр. Ответ выразите в амперах. Вольтметр и амперметр считать идеальными. [i]

Соединение резисторов (решение задач 5)

Запишем закон Ома для участка цепи:
$I = \frac{U}{R} = \frac{3}{8} = 0, 375 A$ — сила тока на резисторе с сопротивлением 8 Ом.
Так как этот резистор подключён последовательно с амперметром, то он будет показывать то же самое значение: I = IA = 0,375 Ом.
Ответ: 0,375 Ом. [i]

Задание 6

В электрической цепи, схема которой показана на рисунке, сопротивление резисторов г = 4 Ом. По участку АВ течёт ток I = 10 А. Найдите напряжение, которое показывает идеальный вольтметр. Ответ дайте в вольтах. [i]

Вольтметр показывает напряжение на резисторах, к которым он подключён параллельно. [i]

Соединение резисторов (решение задач 6)

$U_{V} = I r + I r + I_{1} r$
При параллельном соединении напряжение одинаково. То есть напряжение на верхней части цепи равно напряжению на нижней.
$I_{1} \cdot 2 r = I_{2} \cdot 3 r$
$I_{2} = \frac{2}{3} I_{1}$
Общая сила тока равна: $I = I_{1} + I_{2} = I_{1} + \frac{2}{3} I_{1} = \frac{5}{3} I_{1}$
$I_{1} = \frac{3}{5} I = \frac{3}{5} \cdot 10 = 6 A$
$U_{v} = 10 \cdot 4 + 10 \cdot 4 + 6 \cdot 4 = 104 В$
Ответ: 104 В. [i]