Электрическое сопротивление
Электрическое сопротивление — это способность электрического проводника препятствовать прохождению через него электрического тока.
Для создания сопротивления в электрической цепи используется резистор.
Существует два основных способа соединения резисторов — последовательное и параллельное. Также возможно смешанное соединение — комбинация этих двух способов.
Последовательное соединение
Рассмотрим два последовательно соединённых резистора R₁ и R₂:
При последовательном соединении резисторов отсутствуют разветвления цепи, поэтому у тока не будет обходных путей, и через каждый участок цепи в единицу времени будет проходить одинаковый заряд. Из этого следует равенство силы тока на каждом из резисторов.
I₁ = I₂ = I
Чтобы понять, как связаны напряжения, рассмотрим аналогию. Представим, что нужно перетащить ящик из точки А в точку С. Это можно сделать сразу, а можно последовательно: сначала из точки А в точку В, а затем из В в С. То есть можно разбить работу на две составляющие.
То же самое происходит и с напряжением. Напряжение между точками А и С будет равно сумме напряжений между А и В и В и С:
U = U₁ + U₂
С помощью закона Ома для участка цепи выполним преобразования:
U = I ⋅ R
U₁ = I ⋅ R₁
U₂ = I ⋅ R₂
I ⋅ R = I ⋅ R₁ + I ⋅ R₂
Сократив на I, получим формулу общего сопротивления резисторов при последовательном соединении:
R = R₁ + R₂
То есть при последовательном соединении резисторов общее сопротивление равно сумме сопротивлений исходных резисторов.
Таким образом, для последовательно соединённых резисторов выполняются соотношения:
I₁ = I₂ = I
U = U₁ + U₂
R = R₁ + R₂
Параллельное соединение
Рассмотрим два параллельно соединённых резистора R₁ и R₂. Ток, протекающий по цепи, разделится и потечёт через оба резистора.
По закону сохранения заряда общий заряд, втекающий в узел, равен общему заряду, вытекающему из узла. Отсюда следует равенство входящего в узел тока сумме исходящих.
I = I₁ + I₂
Напряжение на параллельных участках будет одинаковым:
U = U₁ = U₂
По закону Ома распишем силы тока:
I = I₁ + I₂
$\frac{U}{R} = \frac{U}{R_1} + \frac{U}{R_2}$
$\frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$
Таким образом, для параллельно соединённых резисторов выполняются соотношения:
I = I₁ + I₂
U = U₁ = U₂
$\frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$
Преобразовав последнее выражение, получим формулу для расчёта общего сопротивления двух параллельных резисторов:
$R = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$
Задание 1
Найдите сопротивление участка цепи постоянного тока, показанного на рисунке, где r = 4 Ом. Ответ дайте в омах.
Резисторы 4r и r соединены параллельно, значит их общее сопротивление равно:
$\frac{1}{R_{\parallel}} = \frac{1}{4r} + \frac{1}{r} = \frac{5}{4r} \;\Rightarrow\; R_{\parallel} = \frac{4}{5}r$
Нарисуем эквивалентную схему:
Соединение последовательное, значит $R_{\text{общ}} = r + 2r + R_{\parallel}$
$R_{\text{общ}} = 4 + 2 \cdot 4 + \frac{4}{5} \cdot 4 = 3{,}8 \cdot 4 = 15{,}2 \ \text{Ом}$
Ответ: 15,2 Ом.
Задание 2
На рисунке ниже представлена схема электрической цепи. Найдите общее сопротивление цепи. Ответ дайте в омах.
Резисторы 4 Ом между собой соединены параллельно. Их общее сопротивление равно:
$\frac{1}{R_{\parallel}} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = 1$
${R_{\parallel}} = 1 Ом$
Соединение последовательное, общее сопротивление цепи равно:
$R_{\text{общ}} = 3 + 1 + 2 = 6 Ом$
Ответ: 6 Ом.
Задание 3
На рисунке ниже представлена схема участка цепи АВ, где сопротивление каждого резистора равно 10 Ом. Ключ переключают из положения 1 в положение 2. Во сколько раз при этом увеличивается сопротивление этого участка цепи?
Общее сопротивление параллельно соединённых одинаковых резисторов в n раз меньше сопротивления одного из таких резисторов, где n — число параллельно соединённых резисторов.
В первом случае:
Общее сопротивление равно: $R_1 = R + \frac{R}{3} = \frac{4}{3}R$
Во втором случае:
Общее сопротивление равно: $ R_2 = R + R = 2R$
$\frac{R_2}{R_1} = \frac{2R}{\frac{4}{3}R} = \frac{6}{4} = 1{,}5$
Ответ: 1,5.
Задание 4
На рисунке ниже изображён участок цепи АВ. Найдите, на сколько изменится сопротивление участка цепи, если ключ К замкнуть. Сопротивление каждого резистора равно 10 Ом. Если сопротивление увеличится, изменение считайте положительным, если уменьшится — отрицательным. Ответ дайте в омах.
В первом случае, когда ключ разомкнут, цепь выглядит следующим образом:
Общее сопротивление цепи будет равно $R_1 = R + \frac{R}{2} = \frac{3}{2}R$.
Когда ключ замкнут, появляется пустой провод, ток идёт по пути наименьшего сопротивления.
Тогда общее сопротивление цепи будет равно: $R_2 = R$.
$R_1 − R_2 = \frac{3}{2}R − R = \frac{1}{2}R = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5 \ \text{Ом}$
Сопротивление уменьшилось, значит в ответ записываем значение −5 Ом.
Ответ: −5 Ом.
Задание 5
Электрическая цепь представлена на рисунке ниже. Показания вольтметра 3 В. Найдите силу тока, которую показывает амперметр. Ответ выразите в амперах. Вольтметр и амперметр считать идеальными.
Запишем закон Ома для участка цепи:
$I = \frac{U}{R} = \frac{3}{8} = 0{,}375 \ \text{A}$ — сила тока на резисторе с сопротивлением 8 Ом.
Так как этот резистор подключён последовательно с амперметром, то он будет показывать то же самое значение: $I = I_A = 0,375 Ом$.
Ответ: 0,375 Ом.
Задание 6
В электрической цепи, схема которой показана на рисунке, сопротивление резисторов г = 4 Ом. По участку АВ течёт ток I = 10 А. Найдите напряжение, которое показывает идеальный вольтметр. Ответ дайте в вольтах.
Вольтметр показывает напряжение на резисторах, к которым он подключён параллельно.
$U_V = Ir + Ir + {I_1}r$
При параллельном соединении напряжение одинаково. То есть напряжение на верхней части цепи равно напряжению на нижней.
$I_1 \cdot 2r = I_2 \cdot 3r$
$I_2 = \frac{2}{3} I_1$
Общая сила тока равна: $I = I_1 + I_2 = I_1 + \frac{2}{3} I_1 = \frac{5}{3} I_1$
$I_1 = \frac{3}{5} I = \frac{3}{5} \cdot 10 = 6 \ \text{A}$
$U_v = 10 \cdot 4 + 10 \cdot 4 + 6 \cdot 4 = 104 \ \text{В}$
Ответ: 104 В.
Авторы:
Саня Эбонит, преподаватель «100балльного репетитора» по физике ЕГЭ;
Кир Синюткин, методист «100балльного репетитора» по физике ЕГЭ
