Как решать задачи по динамике во второй части ЕГЭ: универсальный алгоритм

В этой статье разберём алгоритм, который помогает системно и уверенно решать задачи по динамике. Он состоит из пяти пунктов:

1. Нарисовать рисунок и расставить на нём все силы.
2. Обозначить ускорения.
3. Ввести оси.
4. Записать второй закон Ньютона для всех тел.
5. Решить систему уравнений.

Используем этот алгоритм, чтобы решить задачу № 26 из демоверсии ЕГЭ по физике. 100points.ru[i]

На горизонтальном столе находится брусок массой M = 1 кг, соединённый невесомой нерастяжимой нитью, перекинутой через гладкий невесомый блок, с грузом массой m = 500 г. На брусок действует сила F, направленная под углом α = 30° к горизонту, F = 9Н. В момент начала движения груз находится на расстоянии L = 32 см от края стола. Какую скорость v будет иметь груз в тот момент, когда он поднимется до края стола, если коэффициент трения между бруском и столом μ = 0,3? 100points.ru[i]

1. Рисунок и силы

На груз m действуют две силы: сила тяжести (mg) и сила натяжения нити (T). На брусок M действуют пять сил: сила тяжести (Mg), сила натяжения нити (T), внешняя сила (F), сила трения ($F_{тр}$) и сила реакции опоры (N).

Так как блок и нить невесомы и трения в блоке нет, то силы натяжения нити, которые действуют на груз и брусок, одинаковы по модулю. Так как нить нерастяжима, ускорения бруска и груза равны по модулю.

2. Ускорения

Ускорение груза m направлено вертикально вверх, ускорение бруска M — горизонтально вправо.

3. Оси координат

Ось X — горизонтально вправо (по ускорению бруска M).

Ось Y — вертикально вверх (по ускорению груза m). 100points.ru[i]

4. Второй закон Ньютона

Для груза m в проекциях на ось $\text{о}Y:T-mg=ma$.

Для груза M в проекциях на ось $\text{о}Y:N-Mg+F·\sin \alpha =0$.

Для груза M в проекциях на ось $\text{о}X:F·\cos \alpha -T-F_{\text{тр}}=Ma$.

5. Решение системы уравнений

Система уравнений:

$T-mg=ma$

$N-Mg+F·\sin \alpha =0$

$F·\cos \alpha -T-F_{\text{тр}}=Ma$

Чтобы решить задачу и получить заветные баллы, нужно определить скорость груза в момент, когда он достигнет края стола. Нам известны его перемещение и начальная скорость, значит, для ответа не хватает только ускорения. Обратимся к записанной системе уравнений: чтобы найти ускорение, выразим силу натяжения нити из первого уравнения:

$T=mg+ma$

Подставим её в третье уравнение:

$F·\cos \alpha -mg-ma-F_{\text{тр}}=Ma$

Выразим ускорение a:

$F·\cos \alpha -mg-F_{\text{тр}}=a(M+m)$

$a=\frac{F·\cos \alpha -mg-F_{\text{тр}}}{M+m}$

Из всех переменных осталась неизвестной лишь одна — сила трения Fтр. Она находится по формуле:

$F_{\text{тр}}=\mu N$

Выразим N из второго уравнения записанной выше системы:

$N=Mg-F·\sin \alpha$

Подставим N в формулу силы трения:

$F_{\text{тр}}=\mu \left(Mg-F·\sin \alpha \right)$

Подставим силу трения в формулу для ускорения и выполним преобразования:

$a=\frac{F·\cos \alpha -mg-\mu \left(Mg-F·\sin \alpha \right)}{M+m}$

На этом этапе задача по динамике практически решена. Однако работа ещё не закончена: поскольку это задание № 26, для получения ответа обычно требуется привлечение нескольких разделов механики. В данном случае необходимо воспользоваться формулой из кинематики:

$v^2-{v_0}^2=2La$

Начальная скорость равна нулю, выразим искомую скорость v:

$v=\sqrt{2La}$

Подставим a:

$v=\sqrt{2L\frac{F·\cos \alpha -mg-\mu \left(Mg-F·\sin \alpha \right)}{M+m}}$

Подставив числа, получим, что v = 0,7 м/с.

Данный алгоритм подходит для решения задач № 22 и 26 из ЕГЭ по физике. 100points.ru[i]