Как решать задачи по динамике во второй части ЕГЭ: универсальный алгоритм

В этой статье разберём алгоритм, который помогает системно и уверенно решать задачи по динамике. Он состоит из пяти пунктов:

1. Нарисовать рисунок и расставить на нём все силы.
2. Обозначить ускорения.
3. Ввести оси.
4. Записать второй закон Ньютона для всех тел.
5. Решить систему уравнений.

Используем этот алгоритм, чтобы решить задачу № 26 из демоверсии ЕГЭ по физике.

На горизонтальном столе находится брусок массой M = 1 кг, соединённый невесомой нерастяжимой нитью, перекинутой через гладкий невесомый блок, с грузом массой m = 500 г. На брусок действует сила F, направленная под углом α = 30° к горизонту, F = 9Н. В момент начала движения груз находится на расстоянии L = 32 см от края стола. Какую скорость v будет иметь груз в тот момент, когда он поднимется до края стола, если коэффициент трения между бруском и столом μ = 0,3?

1. Рисунок и силы

На груз m действуют две силы: сила тяжести (mg) и сила натяжения нити (T). На брусок M действуют пять сил: сила тяжести (Mg), сила натяжения нити (T), внешняя сила (F), сила трения ($F_{тр}$) и сила реакции опоры (N).

Так как блок и нить невесомы и трения в блоке нет, то силы натяжения нити, которые действуют на груз и брусок, одинаковы по модулю. Так как нить нерастяжима, ускорения бруска и груза равны по модулю.

2. Ускорения

Ускорение груза m направлено вертикально вверх, ускорение бруска M — горизонтально вправо.

3. Оси координат

Ось X — горизонтально вправо (по ускорению бруска M).

Ось Y — вертикально вверх (по ускорению груза m).

4. Второй закон Ньютона

Для груза m в проекциях на ось $\text{о}Y: T − mg = ma$.

Для груза M в проекциях на ось $\text{о}Y: N − Mg + F \cdot \sin\alpha = 0$.

Для груза M в проекциях на ось $\text{о}X: F \cdot \cos\alpha − T − F_{\text{тр}} = Ma$.

5. Решение системы уравнений

Система уравнений:

$T − mg = ma$

$N − Mg + F \cdot \sin\alpha = 0$

$F \cdot \cos\alpha − T − F_{\text{тр}} = Ma$

Чтобы решить задачу и получить заветные баллы, нужно определить скорость груза в момент, когда он достигнет края стола. Нам известны его перемещение и начальная скорость, значит, для ответа не хватает только ускорения. Обратимся к записанной системе уравнений: чтобы найти ускорение, выразим силу натяжения нити из первого уравнения:

$T = mg + ma$

Подставим её в третье уравнение:

$F \cdot \cos\alpha − mg − ma − F_{\text{тр}} = Ma$

Выразим ускорение a:

$F \cdot \cos\alpha − mg − F_{\text{тр}} = a(M + m)$

$a = \frac{F \cdot \cos\alpha − mg − F_{\text{тр}}}{M + m}$

Из всех переменных осталась неизвестной лишь одна — сила трения Fтр. Она находится по формуле:

$F_{\text{тр}} = \mu N$

Выразим N из второго уравнения записанной выше системы:

$N = Mg − F \cdot \sin\alpha$

Подставим N в формулу силы трения:

$F_{\text{тр}} = \mu \left( Mg − F \cdot \sin\alpha \right)$

Подставим силу трения в формулу для ускорения и выполним преобразования:

$a = \frac{F \cdot \cos\alpha − mg − \mu \left( Mg − F \cdot \sin\alpha \right)}{M + m}$

На этом этапе задача по динамике практически решена. Однако работа ещё не закончена: поскольку это задание № 26, для получения ответа обычно требуется привлечение нескольких разделов механики. В данном случае необходимо воспользоваться формулой из кинематики:

$v^2 − {v_0}^2 = 2La$

Начальная скорость равна нулю, выразим искомую скорость v:

$v = \sqrt{2La}$

Подставим a:

$v = \sqrt{\,2L \frac{F \cdot \cos\alpha − mg − \mu \left( Mg − F \cdot \sin\alpha \right)}{M + m}\,}$

Подставив числа, получим, что v = 0,7 м/с.

Данный алгоритм подходит для решения задач № 22 и 26 из ЕГЭ по физике.