Введение
В этой статье разберём алгоритм, который помогает системно и уверенно решать задачи по динамике. Он состоит из пяти пунктов:
- Нарисовать рисунок и расставить на нём все силы.
- Обозначить ускорения.
- Ввести оси.
- Записать второй закон Ньютона для всех тел.
- Решить систему уравнений.
Используем этот алгоритм, чтобы решить задачу № 26 из демоверсии ЕГЭ по физике.
Задание
На горизонтальном столе находится брусок массой M = 1 кг, соединённый невесомой нерастяжимой нитью, перекинутой через гладкий невесомый блок, с грузом массой m = 500 г. На брусок действует сила F, направленная под углом α = 30° к горизонту, F = 9Н. В момент начала движения груз находится на расстоянии L = 32 см от края стола. Какую скорость v будет иметь груз в тот момент, когда он поднимется до края стола, если коэффициент трения между бруском и столом μ = 0,3?
Решение
1. Рисунок и силы
На груз m действуют две силы: сила тяжести (mg) и сила натяжения нити (T). На брусок M действуют пять сил: сила тяжести (Mg), сила натяжения нити (T), внешняя сила (F), сила трения ($F_{тр}$) и сила реакции опоры (N).
Так как блок и нить невесомы и трения в блоке нет, то силы натяжения нити, которые действуют на груз и брусок, одинаковы по модулю. Так как нить нерастяжима, ускорения бруска и груза равны по модулю.
2. Ускорения
Ускорение груза m направлено вертикально вверх, ускорение бруска M — горизонтально вправо.
3. Оси координат
Ось X — горизонтально вправо (по ускорению бруска M).
Ось Y — вертикально вверх (по ускорению груза m).
4. Второй закон Ньютона
Для груза m в проекциях на ось $\text{о}Y: T − mg = ma$.
Для груза M в проекциях на ось $\text{о}Y: N − Mg + F \cdot \sin\alpha = 0$.
Для груза M в проекциях на ось $\text{о}X: F \cdot \cos\alpha − T − F_{\text{тр}} = Ma$.
5. Решение системы уравнений
Система уравнений:
$T − mg = ma$
$N − Mg + F \cdot \sin\alpha = 0$
$F \cdot \cos\alpha − T − F_{\text{тр}} = Ma$
Чтобы решить задачу и получить заветные баллы, нужно определить скорость груза в момент, когда он достигнет края стола. Нам известны его перемещение и начальная скорость, значит, для ответа не хватает только ускорения. Обратимся к записанной системе уравнений: чтобы найти ускорение, выразим силу натяжения нити из первого уравнения:
$T = mg + ma$
Подставим её в третье уравнение:
$F \cdot \cos\alpha − mg − ma − F_{\text{тр}} = Ma$
Выразим ускорение a:
$F \cdot \cos\alpha − mg − F_{\text{тр}} = a(M + m)$
$a = \frac{F \cdot \cos\alpha − mg − F_{\text{тр}}}{M + m}$
Из всех переменных осталась неизвестной лишь одна — сила трения Fтр. Она находится по формуле:
$F_{\text{тр}} = \mu N$
Выразим N из второго уравнения записанной выше системы:
$N = Mg − F \cdot \sin\alpha$
Подставим N в формулу силы трения:
$F_{\text{тр}} = \mu \left( Mg − F \cdot \sin\alpha \right)$
Подставим силу трения в формулу для ускорения и выполним преобразования:
$a = \frac{F \cdot \cos\alpha − mg − \mu \left( Mg − F \cdot \sin\alpha \right)}{M + m}$
На этом этапе задача по динамике практически решена. Однако работа ещё не закончена: поскольку это задание № 26, для получения ответа обычно требуется привлечение нескольких разделов механики. В данном случае необходимо воспользоваться формулой из кинематики:
$v^2 − {v_0}^2 = 2La$
Начальная скорость равна нулю, выразим искомую скорость v:
$v = \sqrt{2La}$
Подставим a:
$v = \sqrt{\,2L \frac{F \cdot \cos\alpha − mg − \mu \left( Mg − F \cdot \sin\alpha \right)}{M + m}\,}$
Подставив числа, получим, что v = 0,7 м/с.
Данный алгоритм подходит для решения задач № 22 и 26 из ЕГЭ по физике.
