Дифракция света и расчёт параметров дифракционной решётки

Получается, за счёт явления дифракции свет может попадать в области геометрической тени и отклоняться от законов геометрической оптики.

Период дифракционной решётки может быть найден по формуле:

$d = \frac{L}{N}$

Где:

$L$ — длина дифракционной решётки, м;
$N$ — количество штрихов.

При освещении дифракционной решётки, наблюдаемая за ней картина состоит из чередования светлых и тёмных полос. Это является результатом двух явлений — интерференции и дифракции. Понятие интерференции, разности хода и когерентных волн мы подробно рассмотрели в статье “Интерференция”.

Рассмотрим два когерентных точечных источника, которые освещают экран. Причём расстояние между источниками много меньше расстояния от источников до экрана.

В данном случае волны, падающие на экран, имеют одинаковую фазу, поэтому в результате интерференции, волны будут усиливать друг друга. На экране можно увидеть светлое пятно.

Рассмотрим наложение волн в точке, находящейся на разных расстояниях от когерентных источников.

$L_1$ — ход волны от источника $S_1$;
$L_2$ — ход волны от источника $S_2$.

Величина $\Delta L$ называется разностью хода волн и вычисляется по формуле:

$\Delta L = L_2 − L_1$

В случае, если разность хода равна целому числу длин волн, будет наблюдаться яркое пятно, эти точки называются интерференционными максимумами.

$\Delta L = k\lambda$

Где k — целое число.

Если разность хода равна нечётному числу полуволн, будет наблюдаться тёмное пятно, эти точки называются интерференционными минимумами.

$\Delta L = (2k + 1)\frac{\lambda}{2}$

Найдём значение разности хода геометрически. Пусть d — расстояние между источниками по вертикали (в случае дифракционной решётки это её период), $\Delta L$ — разностью хода.

Так как источники расположены близко, то угол $\gamma$ мал, поэтому треугольник $S_1HP$ можно считать равнобедренным, причём $S_1P = PH$, получим, что
$L_2 − L_1 = S_2P − S_1P = S_2P − HP = S_2H = \Delta L$.

Из геометрических соображений, в силу того, что источники расположены близко, углы наклона лучей $S_1P$ и $S_2P$ к горизонтали, будут примерно равны, обозначим их $\varphi$. По рисунку, конечно, они не кажутся равными, но представьте себе, что точки $S_1$ и $S_2$ находятся так близко, что фактически сливаются в одну. В реальности так и будет, так как расстояние $S_1S_2$ гораздо меньше расстояния до экрана.

Так как $\angle OS_2S_1 = 90^{\circ}$, то $\angle HS_2S_1 = 90^{\circ} − \varphi$, откуда $\angle S_2S_1H = \varphi$.

Распишем $sin\varphi$ в $\Delta S_1S_2H$.

$sin\varphi = \frac{\Delta L}{d}$

$d \cdot sin\varphi = \Delta L$

В точке будет наблюдаться интерференционный максимум если:

$d \cdot sin\varphi = k\lambda$

В точке будет наблюдаться интерференционный минимум если:

$d \cdot sin\varphi = (2k + 1)\frac{\lambda}{2}$,

где k — некоторое целое число.

Найдём расстояние x от центра интерференционной картины до максимума с номером k. Пусть l — расстояние от дифракционной решётки до экрана.

По формуле максимума:

$d \cdot \sin\varphi = k\lambda$

Так как угол мал, значение синуса примерно равно значению тангенса:

$\sin\varphi \approx \operatorname{tg}\varphi = \frac{x}{l}$

Подставив выражение, получим:

$d\frac{x}{l} = k\lambda$

$x = \frac{k\lambda l}{d}$

Максимум будет виден на экране если он идёт под углом $\varphi < 90^{\circ}$, откуда следует, что

$\sin\varphi < 1$

Из формулы $d \cdot \sin\varphi = k\lambda$ следует, что $\sin\varphi = \frac{k\lambda}{d}$, откуда:

$\frac{k\lambda}{d} < 1$

$k < \frac{d}{\lambda} \Rightarrow k_{max} = \left[\frac{d}{\lambda}\right]$

где квадратные скобки, означают целую часть числа (например [4,9357] = 4).

Следовательно, зная длину волны электромагнитного излучения и период решётки, можно определить максимальный порядок видимого максимума и количество максимумов. Причём нужно помнить, что максимумы будут сверху и снизу, а также будет максимум нулевого порядка. То есть, если максимальный порядок равен $k_{max}$, то количество максимумов будет составлять $2k_{max} + 1$.

Задание 1

Параллельный пучок монохроматического света с длиной волны 700 нм освещает дифракционную решётку, которая имеет 200 штрихов на 1 мм своей длины. Угол между пучком света и решёткой равен 90°. Сразу за дифракционной решёткой стоит тонкая собирающая линза, которая расположена вплотную к решётке. За решёткой расположен экран на расстоянии, равном фокусному расстоянию линзы, плоскость экрана параллельна плоскости решётки. Выберите все верные утверждения, если на экране наблюдается дифракционная картина.

1. Максимальный порядок наблюдаемых максимумов равен 7.

2. Если увеличить длину волны падающего света, то максимальный порядок наблюдаемых дифракционных максимумов может как увеличиться, так и остаться прежним.

3. Если уменьшить длину волны падающего света, то расстояние между нулевым и первым дифракционными максимумами увеличится.

4. Если заменить дифракционную решётку на другую, с меньшим периодом, то угол, под которым будет наблюдаться первый максимум, увеличится.

5. Если заменить линзу на другую, с большим фокусным расстоянием, и расположить экран так, чтобы расстояние от линзы до экрана по-прежнему было равно фокусному расстоянию линзы, то расстояние на экране между нулевым и первым дифракционными максимумами уменьшится.

Задание 2

Дифракционную решётку поместили в прозрачный сосуд, заполненный водой. Её освещают параллельным пучком монохроматического света, который нормально падает на поверхность решётки через боковую стенку сосуда. Далее из сосуда выливают воду. Что произойдёт с частотой световой волны, падающей на решётку, и углом между падающим лучом и направлением на первый дифракционный максимум?

Для каждой величины определите соответствующий характер изменения:

1. увеличится;
2. уменьшится;
3. не изменится.

Запишите в таблицу выбранные цифры для каждого ответа. Цифры в ответе могут повторяться.

Задание 3

На дифракционную решётку с периодом 10 мкм перпендикулярно ей падает плоская монохроматическая световая волна. Позади решётки параллельно ей расположена собирающая линза с фокусным расстоянием 20 см. На экране в задней фокальной плоскости линзы наблюдается дифракционная картина. Расстояние между её главными максимумами второго и третьего порядков равно 10 мм. Чему равна частота падающего света? Считать для малых углов $\sin\alpha \approx \operatorname{tg}\alpha \approx \alpha$.

Дано:
$d = 10 \cdot 10^{−6}$ м
$F = 20$ см
$\Delta x_{23} = 10$ мм
$\nu$ — ?