Дифракция света и расчёт параметров дифракционной решётки

Основные понятия: дифракция и дифракционная решётка

Получается, за счёт явления дифракции свет может попадать в области геометрической тени и отклоняться от законов геометрической оптики. [i]

Период дифракционной решётки может быть найден по формуле:
$d = \frac{L}{N}$
Где:
$L$ — длина дифракционной решётки, м;
$N$ — количество штрихов. [i]

Условия формирования интерференционной картины

При освещении дифракционной решётки, наблюдаемая за ней картина состоит из чередования светлых и тёмных полос. Это является результатом двух явлений — интерференции и дифракции. Понятие интерференции, разности хода и когерентных волн мы подробно рассмотрели в статье “Интерференция”.
Рассмотрим два когерентных точечных источника, которые освещают экран. Причём расстояние между источниками много меньше расстояния от источников до экрана. [i]

В данном случае волны, падающие на экран, имеют одинаковую фазу, поэтому в результате интерференции, волны будут усиливать друг друга. На экране можно увидеть светлое пятно.
Рассмотрим наложение волн в точке, находящейся на разных расстояниях от когерентных источников. [i]

$L_{1}$ — ход волны от источника $S_{1}$ ;
$L_{2}$ — ход волны от источника $S_{2}$ .
Величина $Δ L$ называется разностью хода волн и вычисляется по формуле:
$Δ L = L_{2} - L_{1}$
В случае, если разность хода равна целому числу длин волн, будет наблюдаться яркое пятно, эти точки называются интерференционными максимумами.
$Δ L = k λ$
Где k — целое число.
Если разность хода равна нечётному числу полуволн, будет наблюдаться тёмное пятно, эти точки называются интерференционными минимумами.
$Δ L = (2 k + 1) \frac{λ}{2}$
Найдём значение разности хода геометрически. Пусть d — расстояние между источниками по вертикали (в случае дифракционной решётки это её период), $Δ L$ — разностью хода. [i]

Так как источники расположены близко, то угол $γ$ мал, поэтому треугольник $S_{1} H P$ можно считать равнобедренным, причём $S_{1} P = P H$ , получим, что
$L_{2} - L_{1} = S_{2} P - S_{1} P = S_{2} P - H P = S_{2} H = Δ L$ .
Из геометрических соображений, в силу того, что источники расположены близко, углы наклона лучей $S_{1} P$ и $S_{2} P$ к горизонтали, будут примерно равны, обозначим их $φ$ . По рисунку, конечно, они не кажутся равными, но представьте себе, что точки $S_{1}$ и $S_{2}$ находятся так близко, что фактически сливаются в одну. В реальности так и будет, так как расстояние $S_{1} S_{2}$ гораздо меньше расстояния до экрана. [i]

Так как $∠ O S_{2} S_{1} = 90^{\circ}$ , то $∠ H S_{2} S_{1} = 90^{\circ} - φ$ , откуда $∠ S_{2} S_{1} H = φ$ .
Распишем $s i n φ$ в $Δ S_{1} S_{2} H$ .
$s i n φ = \frac{Δ L}{d}$
$d \cdot s i n φ = Δ L$
В точке будет наблюдаться интерференционный максимум если:
$d \cdot s i n φ = k λ$
В точке будет наблюдаться интерференционный минимум если:
$d \cdot s i n φ = (2 k + 1) \frac{λ}{2}$ ,
где k — некоторое целое число. [i]

Подготовка к экзаменам в 100балльном репетиторе

Расчёт положения максимумов и их максимального порядка

Найдём расстояние x от центра интерференционной картины до максимума с номером k. Пусть l — расстояние от дифракционной решётки до экрана. [i]

По формуле максимума:
$d \cdot \sin φ = k λ$
Так как угол мал, значение синуса примерно равно значению тангенса:
$\sin φ \approx tg φ = \frac{x}{l}$
Подставив выражение, получим:
$d \frac{x}{l} = k λ$
$x = \frac{k λ l}{d}$
Максимум будет виден на экране если он идёт под углом $φ < 90^{\circ}$ , откуда следует, что
$\sin φ < 1$
Из формулы $d \cdot \sin φ = k λ$ следует, что $\sin φ = \frac{k λ}{d}$ , откуда:
$\frac{k λ}{d} < 1$
$k < \frac{d}{λ} \Rightarrow k_{m a x} = [\frac{d}{λ}]$
где квадратные скобки, означают целую часть числа (например [4,9357] = 4).
Следовательно, зная длину волны электромагнитного излучения и период решётки, можно определить максимальный порядок видимого максимума и количество максимумов. Причём нужно помнить, что максимумы будут сверху и снизу, а также будет максимум нулевого порядка. То есть, если максимальный порядок равен $k_{m a x}$ , то количество максимумов будет составлять $2 k_{m a x} + 1$ . [i]

Практикум: решение задач

Задание 1
Параллельный пучок монохроматического света с длиной волны 700 нм освещает дифракционную решётку, которая имеет 200 штрихов на 1 мм своей длины. Угол между пучком света и решёткой равен 90°. Сразу за дифракционной решёткой стоит тонкая собирающая линза, которая расположена вплотную к решётке. За решёткой расположен экран на расстоянии, равном фокусному расстоянию линзы, плоскость экрана параллельна плоскости решётки. Выберите все верные утверждения, если на экране наблюдается дифракционная картина.

Максимальный порядок наблюдаемых максимумов равен 7.
Если увеличить длину волны падающего света, то максимальный порядок наблюдаемых дифракционных максимумов может как увеличиться, так и остаться прежним.
Если уменьшить длину волны падающего света, то расстояние между нулевым и первым дифракционными максимумами увеличится.
Если заменить дифракционную решётку на другую, с меньшим периодом, то угол, под которым будет наблюдаться первый максимум, увеличится.
Если заменить линзу на другую, с большим фокусным расстоянием, и расположить экран так, чтобы расстояние от линзы до экрана по-прежнему было равно фокусному расстоянию линзы, то расстояние на экране между нулевым и первым дифракционными максимумами уменьшится. [i]

По формуле дифракционной решётки: $d \sin φ = λ k$
Для максимального порядка максимумов: $\sin φ < 1 \Rightarrow \frac{λ k}{d} < 1$ , где $d = \frac{L}{N}$
$k < \frac{d}{λ} = \frac{L}{N λ}$ ; $k < \frac{10^{- 3}}{200 \cdot 700 \cdot 10^{- 9}} \approx 7, 1$
$k_{m a x} = 7$ — верно.
Если увеличить длину волны падающего света, то максимальный порядок наблюдаемых дифракционных максимумов может либо остаться прежним, либо уменьшиться — неверно.
$d \sin φ ↓ = λ ↓ \cdot 1$ — при уменьшении длины волны падающего света уменьшается угол между направлениями на нулевой и первый дифракционный максимумы и соответственно расстояние между этими максимумами — неверно.
$↓ d \sin φ ↑ = λ \cdot 1 \Rightarrow φ ↑$ — при уменьшении периода дифракционной решётки угол, под которым будет наблюдаться первый максимум, увеличится — верно.
Для малых углов: $\sin φ \approx tg φ = \frac{x ↑}{L ↑}$ — при увеличении фокусного расстояния линзы расстояние между нулевым и первым дифракционными максимумами увеличится — неверно.

Ответ: 14. [i]

Задание 2
Дифракционную решётку поместили в прозрачный сосуд, заполненный водой. Её освещают параллельным пучком монохроматического света, который нормально падает на поверхность решётки через боковую стенку сосуда. Далее из сосуда выливают воду. Что произойдёт с частотой световой волны, падающей на решётку, и углом между падающим лучом и направлением на первый дифракционный максимум?
Для каждой величины определите соответствующий характер изменения:
увеличится;
уменьшится;
не изменится.
Запишите в таблицу выбранные цифры для каждого ответа. Цифры в ответе могут повторяться. [i]

Частота световой волны, падающей на решётку	Угол между падающим лучом и направлением на первый дифракционный максимум

Разность хода равна $Δ L = d \sin φ$ , но так как опыт происходит в воде, то $Δ L = d \sin φ \cdot n$
$Δ L = λ \cdot 1$ , так как разность хода должна быть равна целому числу волн и мы рассматриваем первый дифракционный максимум
Объединим полученные уравнения:
$d \sin φ ↑ \cdot n ↓ = λ, n$ уменьшается, так как во втором случае мы рассматриваем воздух, длина волны и $d$ неизменны, значит угол $φ$ должен увеличиться
Частота не меняется при переходе из одной среды в другую
Ответ: 31. [i]

Задание 3
На дифракционную решётку с периодом 10 мкм перпендикулярно ей падает плоская монохроматическая световая волна. Позади решётки параллельно ей расположена собирающая линза с фокусным расстоянием 20 см. На экране в задней фокальной плоскости линзы наблюдается дифракционная картина. Расстояние между её главными максимумами второго и третьего порядков равно 10 мм. Чему равна частота падающего света? Считать для малых углов $\sin α \approx tg α \approx α$ .
Дано:
$d = 10 \cdot 10^{- 6}$ м
$F = 20$ см
$Δ x_{23} = 10$ мм
$ν$ — ? [i]

Так как углы малые, то $\sin φ \approx tg φ = \frac{x}{F}$
$d \sin φ = λ k$
$d \frac{x}{F} = λ k$
Распишем для второго и третьего максимумов:
$d \frac{x_{2}}{F} = 2 λ$
$d \frac{x_{3}}{F} = 3 λ$
$Δ x_{23} = x_{3} - x_{2} = \frac{3 F λ}{d} - \frac{2 F λ}{d} = \frac{F λ}{d}$ , где $λ = \frac{c}{ν}$
$Δ x_{23} = \frac{F c}{d ν}$
$ν = \frac{F c}{d Δ x_{23}} = \frac{0, 2 \cdot 3 \cdot 10^{8}}{10 \cdot 10^{- 6} \cdot 10 \cdot 10^{- 3}} = 6 \cdot 10^{14}$ Гц
Ответ: $6 \cdot 10^{14}$ Гц. [i]